ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzospliti Unicode version

Theorem fzospliti 9134
Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzospliti  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B..^ D )  \/  A  e.  ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzospliti
StepHypRef Expression
1 simpr 107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
2 elfzoelz 9106 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
32adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
4 zlelttric 8347 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( D  <_  A  \/  A  <  D ) )
51, 3, 4syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( D  <_  A  \/  A  <  D ) )
65orcomd 658 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  <  D  \/  D  <_  A ) )
7 elfzole1 9113 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  <_  A )
87adantr 265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  <_  A )
98a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  <  D  ->  B  <_  A ) )
109ancrd 313 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  <  D  ->  ( B  <_  A  /\  A  <  D ) ) )
11 elfzolt2 9114 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  <  C )
1211adantr 265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  <  C )
1312a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( D  <_  A  ->  A  <  C ) )
1413ancld 312 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( D  <_  A  ->  ( D  <_  A  /\  A  <  C ) ) )
1510, 14orim12d 710 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( A  <  D  \/  D  <_  A )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  D )  \/  ( D  <_  A  /\  A  <  C ) ) ) )
166, 15mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  /\  A  <  D )  \/  ( D  <_  A  /\  A  <  C
) ) )
17 elfzoel1 9104 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
1817adantr 265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
19 elfzo 9108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B..^ D )  <->  ( B  <_  A  /\  A  < 
D ) ) )
203, 18, 1, 19syl3anc 1146 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B..^ D )  <->  ( B  <_  A  /\  A  < 
D ) ) )
21 elfzoel2 9105 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
2221adantr 265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
23 elfzo 9108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( D..^ C )  <->  ( D  <_  A  /\  A  < 
C ) ) )
243, 1, 22, 23syl3anc 1146 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( D..^ C )  <->  ( D  <_  A  /\  A  < 
C ) ) )
2520, 24orbi12d 717 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( A  e.  ( B..^ D )  \/  A  e.  ( D..^ C ) )  <->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  D )  \/  ( D  <_  A  /\  A  <  C ) ) ) )
2616, 25mpbird 160 1  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B..^ D )  \/  A  e.  ( D..^ C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540    < clt 7119    <_ cle 7120   ZZcz 8302  ..^cfzo 9101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977  df-fzo 9102
This theorem is referenced by:  fzosplit  9135  fzocatel  9157
  Copyright terms: Public domain W3C validator