Theorem fzospliti 9953

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	|- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
2		elfzoelz 9924	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4		zlelttric 9099	. . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
6	5	orcomd 718	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D \/ D <_ A ) )
7		elfzole1 9932	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
9	8	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> B <_ A ) )
10	9	ancrd 324	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
11		elfzolt2 9933	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
13	12	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> A < C ) )
14	13	ancld 323	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
15	10, 14	orim12d 775	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A < D \/ D <_ A ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
16	6, 15	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) )
17		elfzoel1 9922	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
18	17	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
19		elfzo 9926	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
20	3, 18, 1, 19	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
21		elfzoel2 9923	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
22	21	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
23		elfzo 9926	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
24	3, 1, 22, 23	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
25	20, 24	orbi12d 782	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) <-> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
26	16, 25	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   < clt 7800   <_ cle 7801   ZZcz 9054  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by:  fzosplit  9954  fzocatel  9976  dfphi2  11896