ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzostep1 Unicode version

Theorem fzostep1 9323
Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzostep1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( ( A  +  1 )  e.  ( B..^ C
)  \/  ( A  +  1 )  =  C ) )

Proof of Theorem fzostep1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9232 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
2 uzid 8714 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  ( ZZ>= `  B )
)
3 peano2uz 8752 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B )
)
4 fzoss1 9257 . . . 4  |-  ( ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( ( B  +  1 )..^ ( C  +  1 ) )  C_  ( B..^ ( C  +  1 ) ) )
51, 2, 3, 44syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( ( B  +  1 )..^ ( C  +  1 ) )  C_  ( B..^ ( C  +  1 ) ) )
6 1z 8458 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
7 fzoaddel 9278 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ( B  +  1 )..^ ( C  +  1 ) ) )
86, 7mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ( B  + 
1 )..^ ( C  +  1 ) ) )
95, 8sseldd 3001 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( B..^ ( C  +  1 ) ) )
10 elfzoel2 9233 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
11 elfzolt3 9243 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  <  C )
12 zre 8436 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
13 zre 8436 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  RR )
14 ltle 7265 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  C  ->  B  <_  C )
)
1512, 13, 14syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  <  C  ->  B  <_  C )
)
161, 10, 15syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  <  C  ->  B  <_  C ) )
1711, 16mpd 13 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  <_  C )
18 eluz2 8706 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  <_  C ) )
191, 10, 17, 18syl3anbrc 1123 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)
20 fzosplitsni 9321 . . 3  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( ( A  +  1 )  e.  ( B..^ ( C  +  1 ) )  <->  ( ( A  +  1 )  e.  ( B..^ C )  \/  ( A  + 
1 )  =  C ) ) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( ( A  +  1 )  e.  ( B..^ ( C  +  1 ) )  <->  ( ( A  +  1 )  e.  ( B..^ C )  \/  ( A  + 
1 )  =  C ) ) )
229, 21mpbid 145 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( ( A  +  1 )  e.  ( B..^ C
)  \/  ( A  +  1 )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434    C_ wss 2974   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   RRcr 7042   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700  ..^cfzo 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-fzo 9230
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator