Theorem fzp1nel 9884

Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1nel	|- -. ( N + 1 ) e. ( M ... N )

Proof of Theorem fzp1nel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9058	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2	1	ltp1d 8688	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N < ( N + 1 ) )
3		peano2z 9090	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zltnle 9100	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
5	3, 4	mpdan 417	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
6	2, 5	mpbid 146	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) <_ N )
7	6	intnand 916	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -. ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) )
8	7	3ad2ant2 1003	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> -. ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) )
9		elfz2 9797	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) ) )
10	9	notbii 657	. . 3 |- ( -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) <-> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) ) )
11		imnan 679	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> -. ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) ) <-> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) ) )
12	10, 11	bitr4i 186	. 2 |- ( -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> -. ( M <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ N ) ) )
13	8, 12	mpbir 145	1 |- -. ( N + 1 ) e. ( M ... N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-fz 9791

This theorem is referenced by: (None)