ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsn Unicode version

Theorem fzsn 9031
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 9001 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 9000 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2116 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 150 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 135 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 velsn 3420 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 191 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2054 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1259    e. wcel 1409   {csn 3403  (class class class)co 5540   ZZcz 8302   ...cfz 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-apti 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977
This theorem is referenced by:  fzsuc  9033  fzpred  9034  fzpr  9041  fzsuc2  9043  1fv  9098  fzosn  9163
  Copyright terms: Public domain W3C validator