ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztp Unicode version

Theorem fztp 9171
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 8714 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 8752 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 fzsuc 9162 . . 3  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( M  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } ) )
41, 2, 33syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1
) )  u.  {
( ( M  + 
1 )  +  1 ) } ) )
5 zcn 8437 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 ax-1cn 7131 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 addass 7165 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
86, 6, 7mp3an23 1261 . . . . 5  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
95, 8syl 14 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
10 df-2 8165 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1110oveq2i 5554 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
129, 11syl6eqr 2132 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  + 
2 ) )
1312oveq2d 5559 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... ( M  +  2 ) ) )
14 fzpr 9170 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
1512sneqd 3419 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) }  =  { ( M  +  2 ) } )
1614, 15uneq12d 3128 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } ) )
17 df-tp 3414 . . 3  |-  { M ,  ( M  + 
1 ) ,  ( M  +  2 ) }  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } )
1816, 17syl6eqr 2132 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  +  2 ) } )
194, 13, 183eqtr3d 2122 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434    u. cun 2972   {csn 3406   {cpr 3407   {ctp 3408   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   1c1 7044    + caddc 7046   2c2 8156   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-tp 3414  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106
This theorem is referenced by:  fztpval  9176  fz0tp  9212  fzo0to3tp  9305
  Copyright terms: Public domain W3C validator