Theorem fztp 9858

Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fztp	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9340	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9378	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3		fzsuc 9849	. . 3 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
5		zcn 9059	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		ax-1cn 7713	. . . . . 6 |- 1 e. CC
7		addass 7750	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 6, 7	mp3an23 1307	. . . . 5 |- ( M e. CC -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
9	5, 8	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
10		df-2 8779	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
11	10	oveq2i 5785	. . . 4 |- ( M + 2 ) = ( M + ( 1 + 1 ) )
12	9, 11	syl6eqr 2190	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + 2 ) )
13	12	oveq2d 5790	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( M ... ( M + 2 ) ) )
14		fzpr 9857	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )
15	12	sneqd 3540	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> { ( ( M + 1 ) + 1 ) } = { ( M + 2 ) } )
16	14, 15	uneq12d 3231	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } ) )
17		df-tp 3535	. . 3 |- { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } )
18	16, 17	syl6eqr 2190	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )
19	4, 13, 18	3eqtr3d 2180	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528   {ctp 3529   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   1c1 7621   + caddc 7623   2c2 8771   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  fztpval  9863  fz0tp  9901  fzo0to3tp  9996