ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztpval Unicode version

Theorem fztpval 9047
Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 3 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B  /\  ( F `  3 )  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 8328 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 fztp 9042 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) } )
31, 2ax-mp 7 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
4 df-3 8050 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5 2cn 8061 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6 ax-1cn 7035 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
75, 6addcomi 7218 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
84, 7eqtri 2076 . . . . 5  |-  3  =  ( 1  +  2 )
98oveq2i 5551 . . . 4  |-  ( 1 ... 3 )  =  ( 1 ... (
1  +  2 ) )
10 tpeq3 3486 . . . . . 6  |-  ( 3  =  ( 1  +  2 )  ->  { 1 ,  2 ,  3 }  =  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) } )
118, 10ax-mp 7 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) }
12 df-2 8049 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
13 tpeq2 3485 . . . . . 6  |-  ( 2  =  ( 1  +  1 )  ->  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) } )
1412, 13ax-mp 7 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
1511, 14eqtri 2076 . . . 4  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
163, 9, 153eqtr4i 2086 . . 3  |-  ( 1 ... 3 )  =  { 1 ,  2 ,  3 }
1716raleqi 2526 . 2  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 3 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  A. x  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C
) ) )
18 1ex 7080 . . 3  |-  1  e.  _V
19 2ex 8062 . . 3  |-  2  e.  _V
20 3ex 8066 . . 3  |-  3  e.  _V
21 fveq2 5206 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
22 iftrue 3364 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  A )
2321, 22eqeq12d 2070 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( F ` 
1 )  =  A ) )
24 fveq2 5206 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
2 ) )
25 1re 7084 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
26 1lt2 8152 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
2725, 26gtneii 7172 . . . . . . 7  |-  2  =/=  1
28 neeq1 2233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  2  ->  (
x  =/=  1  <->  2  =/=  1 ) )
2927, 28mpbiri 161 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  x  =/=  1 )
30 ifnefalse 3370 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )
3129, 30syl 14 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )
32 iftrue 3364 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  2 ,  B ,  C )  =  B )
3331, 32eqtrd 2088 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  B )
3424, 33eqeq12d 2070 . . 3  |-  ( x  =  2  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( F ` 
2 )  =  B ) )
35 fveq2 5206 . . . 4  |-  ( x  =  3  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
3 ) )
36 1lt3 8154 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
3725, 36gtneii 7172 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
38 neeq1 2233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  (
x  =/=  1  <->  3  =/=  1 ) )
3937, 38mpbiri 161 . . . . . 6  |-  ( x  =  3  ->  x  =/=  1 )
4039, 30syl 14 . . . . 5  |-  ( x  =  3  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )
41 2re 8060 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
42 2lt3 8153 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
4341, 42gtneii 7172 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
44 neeq1 2233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  (
x  =/=  2  <->  3  =/=  2 ) )
4543, 44mpbiri 161 . . . . . 6  |-  ( x  =  3  ->  x  =/=  2 )
46 ifnefalse 3370 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  2  ->  if ( x  =  2 ,  B ,  C )  =  C )
4745, 46syl 14 . . . . 5  |-  ( x  =  3  ->  if ( x  =  2 ,  B ,  C )  =  C )
4840, 47eqtrd 2088 . . . 4  |-  ( x  =  3  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  C )
4935, 48eqeq12d 2070 . . 3  |-  ( x  =  3  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( F ` 
3 )  =  C ) )
5018, 19, 20, 23, 34, 49raltp 3455 . 2  |-  ( A. x  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( ( F `
 1 )  =  A  /\  ( F `
 2 )  =  B  /\  ( F `
 3 )  =  C ) )
5117, 50bitri 177 1  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 3 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B  /\  ( F `  3 )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409    =/= wne 2220   A.wral 2323   ifcif 3359   {ctp 3405   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1c1 6948    + caddc 6950   2c2 8040   3c3 8041   ZZcz 8302   ...cfz 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-tp 3411  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator