ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdcom Unicode version

Theorem gcdcom 10597
Description: The  gcd operator is commutative. Theorem 1.4(a) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 262 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <-> 
( N  =  0  /\  M  =  0 ) )
2 ancom 262 . . . . . 6  |-  ( ( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <->  ( n  ||  N  /\  n  ||  M ) )
32a1i 9 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( n  ||  N  /\  n  ||  M ) ) )
43rabbiia 2597 . . . 4  |-  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) }
54supeq1i 6497 . . 3  |-  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  )
61, 5ifbieq2i 3390 . 2  |-  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  ) )
7 gcdval 10583 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
8 gcdval 10583 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
98ancoms 264 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
106, 7, 93eqtr4a 2141 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {crab 2357   ifcif 3369   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565   supcsup 6491   RRcr 7119   0cc0 7120    < clt 7292   ZZcz 8509    || cdvds 10428    gcd cgcd 10570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233  ax-arch 7234  ax-caucvg 7235
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-frec 6062  df-sup 6493  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-3 8243  df-4 8244  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-q 8863  df-rp 8893  df-fz 9183  df-fzo 9307  df-fl 9429  df-mod 9482  df-iseq 9599  df-iexp 9650  df-cj 9955  df-re 9956  df-im 9957  df-rsqrt 10110  df-abs 10111  df-dvds 10429  df-gcd 10571
This theorem is referenced by:  divgcdnnr  10599  gcdid0  10603  neggcd  10606  gcdabs2  10613  modgcd  10614  1gcd  10615  6gcd4e2  10616  rplpwr  10648  rppwr  10649  eucalginv  10670  3lcm2e6woprm  10700  coprmdvds  10706  qredeq  10710  divgcdcoprmex  10716  cncongr1  10717  rpexp12i  10766  cncongrprm  10768  phiprmpw  10830  ex-gcd  10853
  Copyright terms: Public domain W3C validator