Theorem gcdsupex 11635

Description: Existence of the supremum used in defining gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupex	|- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, X, x, y, z   n, Y, x, y, z

Proof of Theorem gcdsupex

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9074	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> 1 e. ZZ )
2		breq1 3927	. . 3 |- ( n = 1 -> ( n || X <-> 1 || X ) )
3		breq1 3927	. . 3 |- ( n = 1 -> ( n || Y <-> 1 || Y ) )
4	2, 3	anbi12d 464	. 2 |- ( n = 1 -> ( ( n || X /\ n || Y ) <-> ( 1 || X /\ 1 || Y ) ) )
5		1dvds 11496	. . . 4 |- ( X e. ZZ -> 1 || X )
6		1dvds 11496	. . . 4 |- ( Y e. ZZ -> 1 || Y )
7	5, 6	anim12i 336	. . 3 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( 1 || X /\ 1 || Y ) )
8	7	adantr 274	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( 1 || X /\ 1 || Y ) )
9		elnnuz 9355	. . . . . 6 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10	9	biimpri 132	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
11		simpll 518	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> X e. ZZ )
12		dvdsdc 11490	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ X e. ZZ ) -> DECID n || X )
13	10, 11, 12	syl2an2 583	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n || X )
14		simplr 519	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> Y e. ZZ )
15		dvdsdc 11490	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ Y e. ZZ ) -> DECID n || Y )
16	10, 14, 15	syl2an2 583	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n || Y )
17		dcan 918	. . . 4 |- (DECID n || X -> (DECID n || Y -> DECID ( n || X /\ n || Y ) ) )
18	13, 16, 17	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID ( n || X /\ n || Y ) )
19	18	adantlr 468	. 2 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID ( n || X /\ n || Y ) )
20		simplll 522	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ X =/= 0 ) -> X e. ZZ )
21		dvdsbnd 11634	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
22		nnuz 9354	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23	22	rexeqi 2629	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X <-> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
24	21, 23	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
25		id 19	. . . . . . . 8 |- ( -. n || X -> -. n || X )
26	25	intnanrd 917	. . . . . . 7 |- ( -. n || X -> -. ( n || X /\ n || Y ) )
27	26	ralimi 2493	. . . . . 6 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
28	27	reximi 2527	. . . . 5 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
29	24, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
30	20, 29	sylancom 416	. . 3 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
31		simpllr 523	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ Y =/= 0 ) -> Y e. ZZ )
32		dvdsbnd 11634	. . . . . 6 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
33	22	rexeqi 2629	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y <-> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
34	32, 33	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
35		id 19	. . . . . . . 8 |- ( -. n || Y -> -. n || Y )
36	35	intnand 916	. . . . . . 7 |- ( -. n || Y -> -. ( n || X /\ n || Y ) )
37	36	ralimi 2493	. . . . . 6 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
38	37	reximi 2527	. . . . 5 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
39	34, 38	syl 14	. . . 4 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
40	31, 39	sylancom 416	. . 3 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
41		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) )
42		simpll 518	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> X e. ZZ )
43		0z 9058	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
44		zdceq 9119	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID X = 0 )
45	42, 43, 44	sylancl 409	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> DECID X = 0 )
46		ianordc 884	. . . . . 6 |- (DECID X = 0 -> ( -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) ) )
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) ) )
48	41, 47	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) )
49		df-ne 2307	. . . . 5 |- ( X =/= 0 <-> -. X = 0 )
50		df-ne 2307	. . . . 5 |- ( Y =/= 0 <-> -. Y = 0 )
51	49, 50	orbi12i 753	. . . 4 |- ( ( X =/= 0 \/ Y =/= 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) )
52	48, 51	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( X =/= 0 \/ Y =/= 0 ) )
53	30, 40, 52	mpjaodan 787	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
54	1, 4, 8, 19, 53	zsupcllemex 11628	1 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   < clt 7793   NNcn 8713   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  gcddvds  11641  dvdslegcd  11642