ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdzeq Unicode version

Theorem gcdzeq 11637
Description: A positive integer  A is equal to its gcd with an integer  B if and only if  A divides  B. Generalization of gcdeq 11638. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gcdzeq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  A  ||  B
) )

Proof of Theorem gcdzeq
StepHypRef Expression
1 nnz 9041 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2 gcddvds 11579 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
31, 2sylan 281 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
43simprd 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
5 breq1 3902 . . 3  |-  ( ( A  gcd  B )  =  A  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  A  ||  B
) )
64, 5syl5ibcom 154 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  ->  A  ||  B ) )
71adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8 iddvds 11433 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  A )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  A )
10 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
11 nnne0 8716 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
12 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  A  =  0 )
1312necon3ai 2334 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
1411, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
1514adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
16 dvdslegcd 11580 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( A  ||  A  /\  A  ||  B
)  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
177, 7, 10, 15, 16syl31anc 1204 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  ||  A  /\  A  ||  B
)  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
189, 17mpand 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
193simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
20 gcdcl 11582 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
211, 20sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
2221nn0zd 9139 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
23 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  NN )
24 dvdsle 11469 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  -> 
( A  gcd  B
)  <_  A )
)
2522, 23, 24syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  -> 
( A  gcd  B
)  <_  A )
)
2619, 25mpd 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  <_  A )
2718, 26jctild 314 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  ( ( A  gcd  B )  <_  A  /\  A  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
2821nn0red 8999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
29 nnre 8695 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
3029adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
3128, 30letri3d 7847 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  ( ( A  gcd  B )  <_  A  /\  A  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
3227, 31sylibrd 168 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  ( A  gcd  B
)  =  A ) )
336, 32impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  A  ||  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    <_ cle 7769   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022    || cdvds 11420    gcd cgcd 11562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563
This theorem is referenced by:  gcdeq  11638  isevengcd2  11763
  Copyright terms: Public domain W3C validator