ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0addcl Unicode version

Theorem ge0addcl 9132
Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ge0addcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)

Proof of Theorem ge0addcl
StepHypRef Expression
1 elrege0 9127 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 elrege0 9127 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
3 readdcl 7213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
43ad2ant2r 493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
5 addge0 7674 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
65an4s 553 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 elrege0 9127 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  +  B
) ) )
84, 6, 7sylanbrc 408 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
91, 2, 8syl2anb 285 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   RRcr 7094   0cc0 7095    + caddc 7098   +oocpnf 7264    <_ cle 7268   [,)cico 9041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-ico 9045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator