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Theorem genpdflem 6663
Description: Simplification of upper or lower cut expression. Lemma for genpdf 6664. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genpdflem.r  |-  ( (
ph  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  Q. )
genpdflem.s  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpdflem  |-  ( ph  ->  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) }  =  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) } )
Distinct variable groups:    A, s    ph, q,
r, s
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( s, r, q)    G( s, r, q)

Proof of Theorem genpdflem
StepHypRef Expression
1 genpdflem.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  Q. )
21ex 112 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  A  ->  r  e.  Q. )
)
32pm4.71rd 380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( r  e.  A  <->  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )
) )
43anbi1d 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  ( (
r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) ) )
54exbidv 1722 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  E. r ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) ) )
6 3anass 900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <-> 
( r  e.  A  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
76rexbii 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
8 r19.42v 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) )  <->  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
97, 8bitri 177 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <-> 
( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
109rexbii 2348 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
11 df-rex 2329 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  E. r ( r  e.  Q.  /\  (
r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
1210, 11bitri 177 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r ( r  e. 
Q.  /\  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
13 anass 387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  ( r  e.  Q.  /\  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
1413exbii 1512 . . . . . 6  |-  ( E. r ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  E. r ( r  e.  Q.  /\  (
r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
1512, 14bitr4i 180 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
165, 15syl6rbbr 192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. r  e. 
Q.  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) )  <->  E. r ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
17 df-rex 2329 . . . 4  |-  ( E. r  e.  A  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
1816, 17syl6bbr 191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e. 
Q.  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
19 genpdflem.s . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  Q. )
2019ex 112 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  B  ->  s  e.  Q. )
)
2120pm4.71rd 380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  B  <->  ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )
) )
2221anbi1d 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  ( (
s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
2322exbidv 1722 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
24 df-rex 2329 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s ( s  e. 
Q.  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
25 anass 387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  ( s  e. 
Q.  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
2625exbii 1512 . . . . . . 7  |-  ( E. s ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s
( s  e.  Q.  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
2724, 26bitr4i 180 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) ) )
2823, 27syl6rbbr 192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s
( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
29 df-rex 2329 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  B  q  =  ( r G s )  <->  E. s
( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) )
3028, 29syl6bbr 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) ) )
3130rexbidv 2344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  A  E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) ) )
3218, 31bitrd 181 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e. 
Q.  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) ) )
3332rabbidv 2566 1  |-  ( ph  ->  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) }  =  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   {crab 2327  (class class class)co 5540   Q.cnq 6436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-11 1413  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332
This theorem is referenced by:  genpdf  6664
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