Theorem grprinvlem 5958

Description: Lemma for grprinvd 5959. (Contributed by NM, 9-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprinvlem.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
grprinvlem.o	|- ( ph -> O e. B )
grprinvlem.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
grprinvlem.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
grprinvlem.n	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
grprinvlem.x	|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
grprinvlem.e	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )

Assertion

Ref	Expression
grprinvlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, O, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   y, X, z   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x, z)   X( x)

Proof of Theorem grprinvlem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprinvlem.x	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
2		grprinvlem.n	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
3	2	ralrimiva 2503	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O )
4		oveq2 5775	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y .+ x ) = ( y .+ z ) )
5	4	eqeq1d 2146	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( y .+ x ) = O <-> ( y .+ z ) = O ) )
6	5	rexbidv 2436	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> E. y e. B ( y .+ z ) = O ) )
7	6	cbvralv 2652	. . . . 5 |- ( A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
8	3, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
9		oveq2 5775	. . . . . . 7 |- ( z = X -> ( y .+ z ) = ( y .+ X ) )
10	9	eqeq1d 2146	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( ( y .+ z ) = O <-> ( y .+ X ) = O ) )
11	10	rexbidv 2436	. . . . 5 |- ( z = X -> ( E. y e. B ( y .+ z ) = O <-> E. y e. B ( y .+ X ) = O ) )
12	11	rspccva 2783	. . . 4 |- ( ( A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
13	8, 12	sylan 281	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
14	1, 13	syldan 280	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
15		grprinvlem.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
16	15	oveq2d 5783	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
17	16	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
18		simprr 521	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ X ) = O )
19	18	oveq1d 5782	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( O .+ X ) )
20		simpll 518	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ph )
21		grprinvlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
22	21	caovassg 5922	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
23	20, 22	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
24		simprl 520	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> y e. B )
25	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X e. B )
26	23, 24, 25, 25	caovassd 5923	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( y .+ ( X .+ X ) ) )
27		oveq2 5775	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( O .+ y ) = ( O .+ X ) )
28		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = X -> y = X )
29	27, 28	eqeq12d 2152	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( ( O .+ y ) = y <-> ( O .+ X ) = X ) )
30		grprinvlem.i	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
31	30	ralrimiva 2503	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B ( O .+ x ) = x )
32		oveq2 5775	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( O .+ x ) = ( O .+ y ) )
33		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
34	32, 33	eqeq12d 2152	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( O .+ x ) = x <-> ( O .+ y ) = y ) )
35	34	cbvralv 2652	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( O .+ x ) = x <-> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
36	31, 35	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
37	36	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
38	29, 37, 1	rspcdva 2789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( O .+ X ) = X )
39	38	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( O .+ X ) = X )
40	19, 26, 39	3eqtr3d 2178	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = X )
41	17, 40, 18	3eqtr3d 2178	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X = O )
42	14, 41	rexlimddv 2552	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415  (class class class)co 5767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  grprinvd  5959