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Theorem grprinvlem 5726
Description: Lemma for grprinvd 5727. (Contributed by NM, 9-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grprinvlem.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
grprinvlem.o  |-  ( ph  ->  O  e.  B )
grprinvlem.i  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O  .+  x )  =  x )
grprinvlem.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
grprinvlem.n  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x )  =  O )
grprinvlem.x  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  e.  B )
grprinvlem.e  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
Assertion
Ref Expression
grprinvlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  =  O )
Distinct variable groups:    x, y, z, B    x, O, y, z    ph, x, y, z   
x,  .+ , y, z    y, X, z    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x, z)    X( x)

Proof of Theorem grprinvlem
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprinvlem.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  e.  B )
2 grprinvlem.n . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x )  =  O )
32ralrimiva 2435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  O )
4 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  .+  x )  =  ( y  .+  z ) )
54eqeq1d 2090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  .+  x
)  =  O  <->  ( y  .+  z )  =  O ) )
65rexbidv 2370 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  O  <->  E. y  e.  B  ( y  .+  z )  =  O ) )
76cbvralv 2578 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  B  (
y  .+  x )  =  O  <->  A. z  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O )
83, 7sylib 120 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O )
9 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  X ) )
109eqeq1d 2090 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
( y  .+  z
)  =  O  <->  ( y  .+  X )  =  O ) )
1110rexbidv 2370 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  ( E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O  <->  E. y  e.  B  ( y  .+  X )  =  O ) )
1211rspccva 2701 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O  /\  X  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  O )
138, 12sylan 277 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  X )  =  O )
141, 13syldan 276 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  O )
15 grprinvlem.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
1615oveq2d 5559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( y  .+  ( X  .+  X ) )  =  ( y  .+  X ) )
1716adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( y  .+  ( X  .+  X ) )  =  ( y  .+  X ) )
18 simprr 499 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( y  .+  X
)  =  O )
1918oveq1d 5558 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( ( y  .+  X )  .+  X
)  =  ( O 
.+  X ) )
20 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  ->  ph )
21 grprinvlem.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
2221caovassg 5690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
2320, 22sylan 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
y  e.  B  /\  ( y  .+  X
)  =  O ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
24 simprl 498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
y  e.  B )
251adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  ->  X  e.  B )
2623, 24, 25, 25caovassd 5691 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( ( y  .+  X )  .+  X
)  =  ( y 
.+  ( X  .+  X ) ) )
27 grprinvlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O  .+  x )  =  x )
2827ralrimiva 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( O  .+  x )  =  x )
29 oveq2 5551 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( O  .+  x )  =  ( O  .+  y
) )
30 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
3129, 30eqeq12d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( O  .+  x
)  =  x  <->  ( O  .+  y )  =  y ) )
3231cbvralv 2578 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  ( O  .+  x )  =  x  <->  A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y )
3328, 32sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y )
3433adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y )
35 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( O  .+  y )  =  ( O  .+  X
) )
36 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  y  =  X )
3735, 36eqeq12d 2096 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
( O  .+  y
)  =  y  <->  ( O  .+  X )  =  X ) )
3837rspcv 2698 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y  ->  ( O  .+  X )  =  X ) )
391, 34, 38sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O  .+  X
)  =  X )
4039adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( O  .+  X
)  =  X )
4119, 26, 403eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( y  .+  ( X  .+  X ) )  =  X )
4217, 41, 183eqtr3d 2122 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  ->  X  =  O )
4314, 42rexlimddv 2482 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350  (class class class)co 5543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546
This theorem is referenced by:  grprinvd  5727
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