Theorem grprinvlem 5726

Description: Lemma for grprinvd 5727. (Contributed by NM, 9-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprinvlem.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
grprinvlem.o	|- ( ph -> O e. B )
grprinvlem.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
grprinvlem.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
grprinvlem.n	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
grprinvlem.x	|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
grprinvlem.e	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )

Assertion

Ref	Expression
grprinvlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, O, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   y, X, z   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x, z)   X( x)

Proof of Theorem grprinvlem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprinvlem.x	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
2		grprinvlem.n	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
3	2	ralrimiva 2435	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O )
4		oveq2 5551	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y .+ x ) = ( y .+ z ) )
5	4	eqeq1d 2090	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( y .+ x ) = O <-> ( y .+ z ) = O ) )
6	5	rexbidv 2370	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> E. y e. B ( y .+ z ) = O ) )
7	6	cbvralv 2578	. . . . 5 |- ( A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
8	3, 7	sylib 120	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
9		oveq2 5551	. . . . . . 7 |- ( z = X -> ( y .+ z ) = ( y .+ X ) )
10	9	eqeq1d 2090	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( ( y .+ z ) = O <-> ( y .+ X ) = O ) )
11	10	rexbidv 2370	. . . . 5 |- ( z = X -> ( E. y e. B ( y .+ z ) = O <-> E. y e. B ( y .+ X ) = O ) )
12	11	rspccva 2701	. . . 4 |- ( ( A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
13	8, 12	sylan 277	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
14	1, 13	syldan 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
15		grprinvlem.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
16	15	oveq2d 5559	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
17	16	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
18		simprr 499	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ X ) = O )
19	18	oveq1d 5558	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( O .+ X ) )
20		simpll 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ph )
21		grprinvlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
22	21	caovassg 5690	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
23	20, 22	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
24		simprl 498	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> y e. B )
25	1	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X e. B )
26	23, 24, 25, 25	caovassd 5691	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( y .+ ( X .+ X ) ) )
27		grprinvlem.i	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
28	27	ralrimiva 2435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B ( O .+ x ) = x )
29		oveq2 5551	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( O .+ x ) = ( O .+ y ) )
30		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
31	29, 30	eqeq12d 2096	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( O .+ x ) = x <-> ( O .+ y ) = y ) )
32	31	cbvralv 2578	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( O .+ x ) = x <-> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
33	28, 32	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
34	33	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
35		oveq2 5551	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( O .+ y ) = ( O .+ X ) )
36		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> y = X )
37	35, 36	eqeq12d 2096	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( ( O .+ y ) = y <-> ( O .+ X ) = X ) )
38	37	rspcv 2698	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( A. y e. B ( O .+ y ) = y -> ( O .+ X ) = X ) )
39	1, 34, 38	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( O .+ X ) = X )
40	39	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( O .+ X ) = X )
41	19, 26, 40	3eqtr3d 2122	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = X )
42	17, 41, 18	3eqtr3d 2122	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X = O )
43	14, 42	rexlimddv 2482	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350  (class class class)co 5543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546

This theorem is referenced by:  grprinvd  5727