ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Unicode version

Theorem gt0ne0d 8242
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 7734 . 2  |-  0  e.  RR
2 gt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3 ltne 7817 . 2  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
41, 2, 3sylancr 410 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773
This theorem is referenced by:  sup3exmid  8683  modqval  10065  modqvalr  10066  modqcl  10067  flqpmodeq  10068  modq0  10070  modqge0  10073  modqlt  10074  modqdiffl  10076  modqdifz  10077  modqvalp1  10084  modqid  10090  modqcyc  10100  modqadd1  10102  modqmuladd  10107  modqmuladdnn0  10109  modqmul1  10118  modqdi  10133  modqsubdir  10134  ennnfonelemp1  11846
  Copyright terms: Public domain W3C validator