Theorem gtned 7869

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapd 8392 which is the same but for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltned.2	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
gtned	|- ( ph -> B =/= A )

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltned.2	. 2 |- ( ph -> A < B )
3		ltne 7842	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> B =/= A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   =/= wne 2306   class class class wbr 3924   RRcr 7612   < clt 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798

This theorem is referenced by:  ltned  7870  seq3f1olemqsumkj  10264  nn0opthlem2d  10460  zfz1isolemiso  10575  ennnfonelemim  11926