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Theorem halfnqq 6662
Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
halfnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem halfnqq
StepHypRef Expression
1 1nq 6618 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
2 addclnq 6627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )
31, 1, 2mp2an 417 . . . . . . . 8  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  e. 
Q.
4 recclnq 6644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.
6 distrnqg 6639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
73, 5, 5, 6mp3an 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
8 recidnq 6645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q )
93, 8ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
109, 9oveq12i 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
117, 10eqtri 2102 . . . . . 6  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
1211oveq1i 5553 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
139oveq2i 5554 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )
14 addclnq 6627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
155, 5, 14mp2an 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.
16 mulassnqg 6636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1715, 3, 5, 16mp3an 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
18 mulcomnqg 6635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1915, 3, 18mp2an 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
2019oveq1i 5553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( 1Q 
+Q  1Q )  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2117, 20eqtr3i 2104 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
224, 4, 14syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
23 mulidnq 6641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
243, 22, 23mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2513, 21, 243eqtr3i 2110 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2612, 25, 93eqtr3i 2110 . . . 4  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
2726oveq2i 5554 . . 3  |-  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( A  .Q  1Q )
28 distrnqg 6639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
295, 5, 28mp3an23 1261 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
30 mulidnq 6641 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )
3127, 29, 303eqtr3a 2138 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A )
32 mulclnq 6628 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
335, 32mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
34 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
3534, 34oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( x  +Q  x )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
3635eqeq1d 2090 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( (
x  +Q  x )  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3736adantl 271 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  ->  (
( x  +Q  x
)  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3833, 37rspcedv 2706 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A ) )
3931, 38mpd 13 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   Q.cnq 6532   1Qc1q 6533    +Q cplq 6534    .Q cmq 6535   *Qcrq 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604
This theorem is referenced by:  halfnq  6663  nsmallnqq  6664  subhalfnqq  6666  addlocpr  6788  addcanprleml  6866  addcanprlemu  6867  cauappcvgprlemm  6897  cauappcvgprlem1  6911  caucvgprlemm  6920
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