Theorem hashprg 10547

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 519	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
2		snfig 6701	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3	2	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { A } e. Fin )
4		elsni 3540	. . . . . . . 8 |- ( B e. { A } -> B = A )
5	4	eqcomd 2143	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> A = B )
6	5	necon3ai 2355	. . . . . 6 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
7	6	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> -. B e. { A } )
8		hashunsng 10546	. . . . . 6 |- ( B e. W -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) ) )
9	8	imp 123	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
10	1, 3, 7, 9	syl12anc 1214	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( (♯ ` { A } ) + 1 ) )
11		hashsng 10537	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> (♯ ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
13	12	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A } ) = 1 )
14	13	oveq1d 5782	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( (♯ ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
15	10, 14	eqtrd 2170	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
16		df-pr 3529	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
17	16	fveq2i 5417	. . 3 |- (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` ( { A } u. { B } ) )
18		df-2 8772	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
19	15, 17, 18	3eqtr4g 2195	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> (♯ ` { A , B } ) = 2 )
20		1ne2 8919	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1 =/= 2 )
22	12, 21	eqnetrd 2330	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` { A } ) =/= 2 )
23		dfsn2 3536	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
24		preq2 3596	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
25	23, 24	syl5req 2183	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
26	25	fveq2d 5418	. . . . . 6 |- ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) = (♯ ` { A } ) )
27	26	neeq1d 2324	. . . . 5 |- ( A = B -> ( (♯ ` { A , B } ) =/= 2 <-> (♯ ` { A } ) =/= 2 ) )
28	22, 27	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A = B -> (♯ ` { A , B } ) =/= 2 ) )
29	28	necon2d 2365	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( (♯ ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
30	29	imp 123	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ (♯ ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
31	19, 30	impbida 585	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A =/= B <-> (♯ ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   u. cun 3064   {csn 3522   {cpr 3523   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   Fincfn 6627   1c1 7614   + caddc 7616   2c2 8764  ♯chash 10514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-ihash 10515

This theorem is referenced by:  prhash2ex  10548  fiprsshashgt1  10556