ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashunsng Unicode version

Theorem hashunsng 10521
Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashunsng  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) ) )

Proof of Theorem hashunsng
StepHypRef Expression
1 simpll 503 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  Fin )
2 snfig 6676 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  { B }  e.  Fin )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  { B }  e.  Fin )
4 simplr 504 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  -.  B  e.  A )
5 disjsn 3555 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
64, 5sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )
7 hashun 10519 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A )  +  ( `  { B } ) ) )
81, 3, 6, 7syl3anc 1201 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  ( `  { B } ) ) )
9 hashsng 10512 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( `  { B } )  =  1 )
109oveq2d 5758 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
( `  A )  +  ( `  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
1110adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  (
( `  A )  +  ( `  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
128, 11eqtrd 2150 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
1312expcom 115 1  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465    u. cun 3039    i^i cin 3040   (/)c0 3333   {csn 3497   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   Fincfn 6602   1c1 7589    + caddc 7591  ♯chash 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-ihash 10490
This theorem is referenced by:  hashprg  10522  hashp1i  10524  hashxp  10540
  Copyright terms: Public domain W3C validator