ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ialgr0 Unicode version

Theorem ialgr0 10570
Description: The value of the algorithm iterator  R at  0 is the initial state  A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
algrf.2  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S )
algrf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
algrf.4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
algrf.5  |-  ( ph  ->  F : S --> S )
algrf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ialgr0  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )

Proof of Theorem ialgr0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S )
21fveq1i 5210 . 2  |-  ( R `
 M )  =  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S ) `  M )
3 algrf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 algrf.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 algrf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
64, 5ialgrlemconst 10569 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( Z  X.  { A }
) `  x )  e.  S )
7 algrf.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : S --> S )
87ialgrlem1st 10568 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x ( F  o.  1st ) y )  e.  S )
93, 6, 8iseq1 9533 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S ) `  M )  =  ( ( Z  X.  { A } ) `  M
) )
10 uzid 8714 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
113, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1211, 4syl6eleqr 2173 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
13 fvconst2g 5407 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
145, 12, 13syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
159, 14eqtrd 2114 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ,  S ) `  M )  =  A )
162, 15syl5eq 2126 1  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   {csn 3406    X. cxp 4369    o. ccom 4375   -->wf 4928   ` cfv 4932   1stc1st 5796   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700    seqcseq 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522
This theorem is referenced by:  ialgcvg  10574  eucialg  10585
  Copyright terms: Public domain W3C validator