Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ibcval5 Unicode version

Theorem ibcval5 9631
 Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient explicitly. In this form, it is valid even for , although it is no longer valid for nonpositive . (Contributed by Jim Kingdon, 6-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ibcval5

Proof of Theorem ibcval5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 9618 . . . 4
3 simprl 491 . . . . . . . . 9
4 simprr 492 . . . . . . . . 9
53, 4mulcld 7105 . . . . . . . 8
6 simpr1 921 . . . . . . . . 9
7 simpr2 922 . . . . . . . . 9
8 simpr3 923 . . . . . . . . 9
96, 7, 8mulassd 7108 . . . . . . . 8
10 simpll 489 . . . . . . . . . . . . 13
1110nn0zd 8417 . . . . . . . . . . . 12
12 simplr 490 . . . . . . . . . . . . 13
1312nnzd 8418 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13zsubcld 8424 . . . . . . . . . . 11
1514peano2zd 8422 . . . . . . . . . 10
16 1red 7100 . . . . . . . . . . . 12
1712nnred 8003 . . . . . . . . . . . 12
1810nn0red 8293 . . . . . . . . . . . 12
1912nnge1d 8032 . . . . . . . . . . . 12
2016, 17, 18, 19lesub2dd 7627 . . . . . . . . . . 11
2114zred 8419 . . . . . . . . . . . 12
22 leaddsub 7507 . . . . . . . . . . . 12
2321, 16, 18, 22syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11
2420, 23mpbird 160 . . . . . . . . . 10
25 eluz2 8575 . . . . . . . . . 10
2615, 11, 24, 25syl3anbrc 1099 . . . . . . . . 9
2726adantrr 456 . . . . . . . 8
28 cnex 7063 . . . . . . . . 9
2928a1i 9 . . . . . . . 8
30 simprr 492 . . . . . . . . 9
31 nnuz 8604 . . . . . . . . 9
3230, 31syl6eleq 2146 . . . . . . . 8
33 vex 2577 . . . . . . . . . 10
34 fvi 5258 . . . . . . . . . 10
3533, 34ax-mp 7 . . . . . . . . 9
36 eluzelcn 8580 . . . . . . . . . 10
3736adantl 266 . . . . . . . . 9
3835, 37syl5eqel 2140 . . . . . . . 8
395, 9, 27, 29, 32, 38iseqsplit 9402 . . . . . . 7
40 elfzuz3 8989 . . . . . . . . . . 11
4140adantl 266 . . . . . . . . . 10
42 eluznn 8634 . . . . . . . . . 10
4312, 41, 42syl2anc 397 . . . . . . . . 9
4443adantrr 456 . . . . . . . 8
45 facnn 9595 . . . . . . . 8
4644, 45syl 14 . . . . . . 7
47 facnn 9595 . . . . . . . . 9
4830, 47syl 14 . . . . . . . 8
4948oveq1d 5555 . . . . . . 7
5039, 46, 493eqtr4d 2098 . . . . . 6
5150expr 361 . . . . 5
5210faccld 9604 . . . . . . . . 9
5352nncnd 8004 . . . . . . . 8
5453mulid2d 7103 . . . . . . 7
5543, 45syl 14 . . . . . . . 8
5655oveq2d 5556 . . . . . . 7
5754, 56eqtr3d 2090 . . . . . 6
58 fveq2 5206 . . . . . . . . 9
59 fac0 9596 . . . . . . . . 9
6058, 59syl6eq 2104 . . . . . . . 8
61 oveq1 5547 . . . . . . . . . . 11
62 0p1e1 8104 . . . . . . . . . . 11
6361, 62syl6eq 2104 . . . . . . . . . 10
64 iseqeq1 9378 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl 14 . . . . . . . . 9
6665fveq1d 5208 . . . . . . . 8
6760, 66oveq12d 5558 . . . . . . 7
6867eqeq2d 2067 . . . . . 6
6957, 68syl5ibrcom 150 . . . . 5
70 fznn0sub 9022 . . . . . . 7
7170adantl 266 . . . . . 6
72 elnn0 8241 . . . . . 6
7371, 72sylib 131 . . . . 5
7451, 69, 73mpjaod 648 . . . 4
7574oveq1d 5555 . . 3
7628a1i 9 . . . . 5
77 vex 2577 . . . . . . 7
78 fvi 5258 . . . . . . 7
7977, 78ax-mp 7 . . . . . 6
80 eluzelcn 8580 . . . . . . 7
8180adantl 266 . . . . . 6
8279, 81syl5eqel 2140 . . . . 5
83 mulcl 7066 . . . . . 6
8483adantl 266 . . . . 5
8526, 76, 82, 84iseqcl 9387 . . . 4
8612nnnn0d 8292 . . . . . 6
8786faccld 9604 . . . . 5
8887nncnd 8004 . . . 4
8971faccld 9604 . . . . 5
9089nncnd 8004 . . . 4
9187nnap0d 8035 . . . 4 #
9289nnap0d 8035 . . . 4 #
9385, 88, 90, 91, 92divcanap5d 7866 . . 3
942, 75, 933eqtrd 2092 . 2
95 simplr 490 . . . . . . 7
9695nnnn0d 8292 . . . . . 6
9796faccld 9604 . . . . 5
9897nncnd 8004 . . . 4
9997nnap0d 8035 . . . 4 #
10098, 99div0apd 7838 . . 3
101 mulcl 7066 . . . . . 6
102101adantl 266 . . . . 5
103 eluzelcn 8580 . . . . . . 7
104103adantl 266 . . . . . 6
10535, 104syl5eqel 2140 . . . . 5
10628a1i 9 . . . . 5
107 simpr 107 . . . . . 6
108107mul02d 7461 . . . . 5
109107mul01d 7462 . . . . 5
110 simpr 107 . . . . . . . . 9
111 nn0uz 8603 . . . . . . . . . . . 12
11296, 111syl6eleq 2146 . . . . . . . . . . 11
113 simpll 489 . . . . . . . . . . . 12
114113nn0zd 8417 . . . . . . . . . . 11
115 elfz5 8984 . . . . . . . . . . 11
116112, 114, 115syl2anc 397 . . . . . . . . . 10
117 nn0re 8248 . . . . . . . . . . . 12
118117ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11
119 nnre 7997 . . . . . . . . . . . 12
120119ad2antlr 466 . . . . . . . . . . 11
121118, 120subge0d 7600 . . . . . . . . . 10
122116, 121bitr4d 184 . . . . . . . . 9
123110, 122mtbid 607 . . . . . . . 8
124 simpl 106 . . . . . . . . . . . 12
125124nn0zd 8417 . . . . . . . . . . 11
126 simpr 107 . . . . . . . . . . . 12
127126nnzd 8418 . . . . . . . . . . 11
128125, 127zsubcld 8424 . . . . . . . . . 10
129128adantr 265 . . . . . . . . 9
130 0z 8313 . . . . . . . . 9
131 zltnle 8348 . . . . . . . . 9
132129, 130, 131sylancl 398 . . . . . . . 8
133123, 132mpbird 160 . . . . . . 7
134 zltp1le 8356 . . . . . . . 8
135129, 130, 134sylancl 398 . . . . . . 7
136133, 135mpbid 139 . . . . . 6
137 nn0ge0 8264 . . . . . . 7
138137ad2antrr 465 . . . . . 6
139 0zd 8314 . . . . . . 7
140129peano2zd 8422 . . . . . . 7
141 elfz 8982 . . . . . . 7
142139, 140, 114, 141syl3anc 1146 . . . . . 6
143136, 138, 142mpbir2and 862 . . . . 5
144 elex 2583 . . . . . 6
145144ad2antrr 465 . . . . 5
146 0cn 7077 . . . . . 6
147 fvi 5258 . . . . . 6
148146, 147mp1i 10 . . . . 5
149102, 105, 106, 108, 109, 143, 145, 148iseqz 9413 . . . 4
150149oveq1d 5555 . . 3
151 nnz 8321 . . . . 5
152 bcval3 9619 . . . . 5
153151, 152syl3an2 1180 . . . 4
1541533expa 1115 . . 3
155100, 150, 1543eqtr4rd 2099 . 2
156 0zd 8314 . . . 4
157 fzdcel 9006 . . . 4 DECID
158127, 156, 125, 157syl3anc 1146 . . 3 DECID
159 exmiddc 755 . . 3 DECID
160158, 159syl 14 . 2
16194, 155, 160mpjaodan 722 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 101   wb 102   wo 639  DECID wdc 753   w3a 896   wceq 1259   wcel 1409  cvv 2574   class class class wbr 3792   cid 4053  cfv 4930  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  cc0 6947  c1 6948   caddc 6950   cmul 6952   clt 7119   cle 7120   cmin 7245   cdiv 7725  cn 7990  cn0 8239  cz 8302  cuz 8569  cfz 8976   cseq 9375  cfa 9593   cbc 9615 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-fz 8977  df-iseq 9376  df-fac 9594  df-bc 9616 This theorem is referenced by:  bcn2  9632
 Copyright terms: Public domain W3C validator