Theorem iccdili 9775

Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdili.1	|- A e. RR
iccdili.2	|- B e. RR
iccdili.3	|- R e. RR+
iccdili.4	|- ( A x. R ) = C
iccdili.5	|- ( B x. R ) = D

Assertion

Ref	Expression
iccdili	|- ( X e. ( A [,] B ) -> ( X x. R ) e. ( C [,] D ) )

Proof of Theorem iccdili

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccdili.1	. . . 4 |- A e. RR
2		iccdili.2	. . . 4 |- B e. RR
3		iccssre 9731	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
4	1, 2, 3	mp2an 422	. . 3 |- ( A [,] B ) C_ RR
5	4	sseli 3088	. 2 |- ( X e. ( A [,] B ) -> X e. RR )
6		iccdili.3	. . . 4 |- R e. RR+
7		iccdili.4	. . . . . 6 |- ( A x. R ) = C
8		iccdili.5	. . . . . 6 |- ( B x. R ) = D
9	7, 8	iccdil 9774	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+ ) ) -> ( X e. ( A [,] B ) <-> ( X x. R ) e. ( C [,] D ) ) )
10	1, 2, 9	mpanl12 432	. . . 4 |- ( ( X e. RR /\ R e. RR+ ) -> ( X e. ( A [,] B ) <-> ( X x. R ) e. ( C [,] D ) ) )
11	6, 10	mpan2 421	. . 3 |- ( X e. RR -> ( X e. ( A [,] B ) <-> ( X x. R ) e. ( C [,] D ) ) )
12	11	biimpd 143	. 2 |- ( X e. RR -> ( X e. ( A [,] B ) -> ( X x. R ) e. ( C [,] D ) ) )
13	5, 12	mpcom 36	1 |- ( X e. ( A [,] B ) -> ( X x. R ) e. ( C [,] D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3066  (class class class)co 5767   RRcr 7612   x. cmul 7618   RR+crp 9434   [,]cicc 9667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-rp 9435  df-icc 9671

This theorem is referenced by: (None)