ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Unicode version

Theorem iexpcyc 9712
Description: Taking  _i to the  K-th power is the same as using the  K  mod  4 -th power instead, by i4 9710. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zq 8828 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
2 4z 8498 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
3 zq 8828 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  QQ )
42, 3ax-mp 7 . . . . 5  |-  4  e.  QQ
5 4pos 8239 . . . . 5  |-  0  <  4
6 modqval 9442 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  4  e.  QQ  /\  0  <  4 )  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
74, 5, 6mp3an23 1261 . . . 4  |-  ( K  e.  QQ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  =  ( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )
98oveq2d 5580 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
10 4nn 8298 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
11 znq 8826 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  /  4
)  e.  QQ )
1210, 11mpan2 416 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  /  4 )  e.  QQ )
1312flqcld 9395 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( K  / 
4 ) )  e.  ZZ )
14 zmulcl 8521 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
152, 13, 14sylancr 405 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )
16 ax-icn 7169 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
17 iap0 8357 . . . . 5  |-  _i #  0
18 expsubap 9657 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( _i ^
( K  -  (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) ) )
1916, 17, 18mpanl12 427 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) ) ) )
2015, 19mpdan 412 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) ) ) )
21 expmulzap 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0 )  /\  ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( _i ^
( 4  x.  ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
2216, 17, 21mpanl12 427 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ )  -> 
( _i ^ (
4  x.  ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )
232, 13, 22sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  ( ( _i
^ 4 ) ^
( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) )
24 i4 9710 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
2524oveq1i 5574 . . . . . . 7  |-  ( ( _i ^ 4 ) ^ ( |_ `  ( K  /  4
) ) )  =  ( 1 ^ ( |_ `  ( K  / 
4 ) ) )
26 1exp 9638 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( K  /  4 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2713, 26syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2825, 27syl5eq 2127 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ 4 ) ^ ( |_
`  ( K  / 
4 ) ) )  =  1 )
2923, 28eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4
) ) ) )  =  1 )
3029oveq2d 5580 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( ( _i ^ K )  /  1
) )
31 expclzap 9634 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i #  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3216, 17, 31mp3an12 1259 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ K )  e.  CC )
3332div1d 7971 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  1 )  =  ( _i ^ K ) )
3430, 33eqtrd 2115 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i ^ K
)  /  ( _i
^ ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
3520, 34eqtrd 2115 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  -  ( 4  x.  ( |_ `  ( K  /  4 ) ) ) ) )  =  ( _i ^ K
) )
369, 35eqtrd 2115 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3806   ` cfv 4953  (class class class)co 5564   CCcc 7077   0cc0 7079   1c1 7080   _ici 7081    x. cmul 7084    < clt 7251    - cmin 7382   # cap 7784    / cdiv 7863   NNcn 8142   4c4 8194   ZZcz 8468   QQcq 8821   |_cfl 9386    mod cmo 9440   ^cexp 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-fl 9388  df-mod 9441  df-iseq 9558  df-iexp 9609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator