Theorem ifcldadc 3496

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3474	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2214	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3477	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2214	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 787	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   ifcif 3469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-if 3470

This theorem is referenced by:  updjudhf  6957  omp1eomlem  6972  difinfsnlem  6977  ctmlemr  6986  ctssdclemn0  6988  ctssdc  6991  enumctlemm  6992  xaddf  9620  xaddval  9621  iseqf1olemqcl  10252  iseqf1olemnab  10254  iseqf1olemjpcl  10261  iseqf1olemqpcl  10262  seq3f1oleml  10269  seq3f1o  10270  exp3val  10288  xrmaxiflemcl  11007  summodclem2a  11143  zsumdc  11146  fsum3  11149  isumss  11153  fsum3cvg2  11156  fsum3ser  11159  fsumcl2lem  11160  fsumadd  11168  sumsnf  11171  sumsplitdc  11194  fsummulc2  11210  isumlessdc  11258  cvgratz  11294  eucalgval2  11723  lcmval  11733  ennnfonelemg  11905  subctctexmid  13185