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Theorem iindif2m 3765
Description: Indexed intersection of class difference. Compare to Theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
iindif2m  |-  ( E. x  x  e.  A  -> 
|^|_ x  e.  A  ( B  \  C )  =  ( B  \  U_ x  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iindif2m
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.28mv 3350 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  C )  <->  ( y  e.  B  /\  A. x  e.  A  -.  y  e.  C ) ) )
2 eldif 2991 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( B  \  C )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  C ) )
32bicomi 130 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  C
)  <->  y  e.  ( B  \  C ) )
43ralbii 2377 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  /\  -.  y  e.  C
)  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  \  C ) )
5 ralnex 2363 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  e.  C  <->  -.  E. x  e.  A  y  e.  C )
6 eliun 3702 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  <->  E. x  e.  A  y  e.  C )
75, 6xchbinxr 641 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  e.  C  <->  -.  y  e.  U_ x  e.  A  C )
87anbi2i 445 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  /\  A. x  e.  A  -.  y  e.  C )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U_ x  e.  A  C )
)
91, 4, 83bitr3g 220 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( B  \  C )  <-> 
( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U_ x  e.  A  C
) ) )
10 vex 2613 . . . 4  |-  y  e. 
_V
11 eliin 3703 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  \  C )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  \  C ) ) )
1210, 11ax-mp 7 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B  \  C )  <->  A. x  e.  A  y  e.  ( B  \  C ) )
13 eldif 2991 . . 3  |-  ( y  e.  ( B  \  U_ x  e.  A  C )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U_ x  e.  A  C ) )
149, 12, 133bitr4g 221 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  ( B 
\  C )  <->  y  e.  ( B  \  U_ x  e.  A  C )
) )
1514eqrdv 2081 1  |-  ( E. x  x  e.  A  -> 
|^|_ x  e.  A  ( B  \  C )  =  ( B  \  U_ x  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610    \ cdif 2979   U_ciun 3698   |^|_ciin 3699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-iun 3700  df-iin 3701
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