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Theorem iinerm 6209
Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinerm  |-  ( ( E. y  y  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    y, A
Allowed substitution hints:    B( y)    R( x, y)

Proof of Theorem iinerm
Dummy variables  u  a  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2116 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
21cbvexv 1811 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. a  a  e.  A
)
3 eleq1 2116 . . . 4  |-  ( a  =  y  ->  (
a  e.  A  <->  y  e.  A ) )
43cbvexv 1811 . . 3  |-  ( E. a  a  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
52, 4bitri 177 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
6 r19.2m 3337 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  E. x  e.  A  R  Er  B )
7 errel 6146 . . . . . . 7  |-  ( R  Er  B  ->  Rel  R )
8 df-rel 4380 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  <->  R  C_  ( _V 
X.  _V ) )
97, 8sylib 131 . . . . . 6  |-  ( R  Er  B  ->  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
109reximi 2433 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  R  Er  B  ->  E. x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
11 iinss 3736 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V )  ->  |^|_ x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
126, 10, 113syl 17 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
13 df-rel 4380 . . . 4  |-  ( Rel  |^|_ x  e.  A  R  <->  |^|_
x  e.  A  R  C_  ( _V  X.  _V ) )
1412, 13sylibr 141 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  Rel  |^|_
x  e.  A  R
)
15 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  Er  B  ->  R  Er  B )
1615ersymb 6151 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Er  B  ->  (
u R v  <->  v R u ) )
1716biimpd 136 . . . . . . . 8  |-  ( R  Er  B  ->  (
u R v  -> 
v R u ) )
18 df-br 3793 . . . . . . . 8  |-  ( u R v  <->  <. u ,  v >.  e.  R
)
19 df-br 3793 . . . . . . . 8  |-  ( v R u  <->  <. v ,  u >.  e.  R
)
2017, 18, 193imtr3g 197 . . . . . . 7  |-  ( R  Er  B  ->  ( <. u ,  v >.  e.  R  ->  <. v ,  u >.  e.  R
) )
2120ral2imi 2402 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  ->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R ) )
2221adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  ->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R
) )
23 df-br 3793 . . . . . 6  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R v  <->  <. u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
24 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
25 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
2624, 25opex 3994 . . . . . . 7  |-  <. u ,  v >.  e.  _V
27 eliin 3690 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  _V  ->  ( <. u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R
) )
2826, 27ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  |^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R )
2923, 28bitri 177 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R v  <->  A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R
)
30 df-br 3793 . . . . . 6  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R u  <->  <. v ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
3125, 24opex 3994 . . . . . . 7  |-  <. v ,  u >.  e.  _V
32 eliin 3690 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  e. 
_V  ->  ( <. v ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R
) )
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
v ,  u >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R )
3430, 33bitri 177 . . . . 5  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R u  <->  A. x  e.  A  <. v ,  u >.  e.  R )
3522, 29, 343imtr4g 198 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u |^|_ x  e.  A  R v  ->  v |^|_ x  e.  A  R u ) )
3635imp 119 . . 3  |-  ( ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  /\  u |^|_ x  e.  A  R
v )  ->  v |^|_ x  e.  A  R u )
37 r19.26 2458 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  <->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R ) )
3815ertr 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Er  B  ->  (
( u R v  /\  v R w )  ->  u R w ) )
39 df-br 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( v R w  <->  <. v ,  w >.  e.  R
)
4018, 39anbi12i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u R v  /\  v R w )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R ) )
41 df-br 3793 . . . . . . . . 9  |-  ( u R w  <->  <. u ,  w >.  e.  R
)
4238, 40, 413imtr3g 197 . . . . . . . 8  |-  ( R  Er  B  ->  (
( <. u ,  v
>.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4342ral2imi 2402 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v >.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4443adantl 266 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( <. u ,  v
>.  e.  R  /\  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
4537, 44syl5bir 146 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
( A. x  e.  A  <. u ,  v
>.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R
)  ->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
46 df-br 3793 . . . . . . 7  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R w  <->  <. v ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
47 vex 2577 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
4825, 47opex 3994 . . . . . . . 8  |-  <. v ,  w >.  e.  _V
49 eliin 3690 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  w >.  e. 
_V  ->  ( <. v ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R
) )
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  w >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R )
5146, 50bitri 177 . . . . . 6  |-  ( v
|^|_ x  e.  A  R w  <->  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R )
5229, 51anbi12i 441 . . . . 5  |-  ( ( u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w )  <->  ( A. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  R  /\  A. x  e.  A  <. v ,  w >.  e.  R ) )
53 df-br 3793 . . . . . 6  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R w  <->  <. u ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
5424, 47opex 3994 . . . . . . 7  |-  <. u ,  w >.  e.  _V
55 eliin 3690 . . . . . . 7  |-  ( <.
u ,  w >.  e. 
_V  ->  ( <. u ,  w >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R
) )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  w >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R )
5753, 56bitri 177 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R w  <->  A. x  e.  A  <. u ,  w >.  e.  R )
5845, 52, 573imtr4g 198 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
( u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w )  ->  u |^|_ x  e.  A  R w ) )
5958imp 119 . . 3  |-  ( ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  /\  (
u |^|_ x  e.  A  R v  /\  v |^|_ x  e.  A  R w ) )  ->  u |^|_ x  e.  A  R w )
60 simpl 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  R  Er  B )
61 simpr 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
6260, 61erref 6157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  ->  u R u )
63 df-br 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( u R u  <->  <. u ,  u >.  e.  R
)
6462, 63sylib 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  B )  -> 
<. u ,  u >.  e.  R )
6564expcom 113 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  B  ->  ( R  Er  B  ->  <.
u ,  u >.  e.  R ) )
6665ralimdv 2405 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
6766com12 30 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  R  Er  B  ->  ( u  e.  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
6867adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  ->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R ) )
69 r19.26 2458 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  <->  ( A. x  e.  A  R  Er  B  /\  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
70 r19.2m 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R
) )  ->  E. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R
) )
7124, 24opeldm 4566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
u ,  u >.  e.  R  ->  u  e.  dom  R )
72 erdm 6147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  Er  B  ->  dom  R  =  B )
7372eleq2d 2123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Er  B  ->  (
u  e.  dom  R  <->  u  e.  B ) )
7473biimpa 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Er  B  /\  u  e.  dom  R )  ->  u  e.  B
)
7571, 74sylan2 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
7675rexlimivw 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <.
u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
7770, 76syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R
) )  ->  u  e.  B )
7877ex 112 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( R  Er  B  /\  <. u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
)
7969, 78syl5bir 146 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( ( A. x  e.  A  R  Er  B  /\  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )  ->  u  e.  B )
)
8079expdimp 250 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  ( A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R  ->  u  e.  B ) )
8168, 80impbid 124 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
82 df-br 3793 . . . . 5  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R u  <->  <. u ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R )
8324, 24opex 3994 . . . . . 6  |-  <. u ,  u >.  e.  _V
84 eliin 3690 . . . . . 6  |-  ( <.
u ,  u >.  e. 
_V  ->  ( <. u ,  u >.  e.  |^|_ x  e.  A  R  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R
) )
8583, 84ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( <.
u ,  u >.  e. 
|^|_ x  e.  A  R 
<-> 
A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )
8682, 85bitri 177 . . . 4  |-  ( u
|^|_ x  e.  A  R u  <->  A. x  e.  A  <. u ,  u >.  e.  R )
8781, 86syl6bbr 191 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  (
u  e.  B  <->  u |^|_ x  e.  A  R u ) )
8814, 36, 59, 87iserd 6163 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
895, 88sylanbr 273 1  |-  ( ( E. y  y  e.  A  /\  A. x  e.  A  R  Er  B )  ->  |^|_ x  e.  A  R  Er  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   E.wex 1397    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   <.cop 3406   |^|_ciin 3686   class class class wbr 3792    X. cxp 4371   dom cdm 4373   Rel wrel 4378    Er wer 6134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-iin 3688  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-er 6137
This theorem is referenced by:  riinerm  6210
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