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Theorem iinexgm 3936
Description: The existence of an indexed union.  x is normally a free-variable parameter in  B, which should be read  B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
iinexgm  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem iinexgm
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiin2g 3718 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
21adantl 266 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
3 elisset 2585 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B )
43rgenw 2393 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B )
5 r19.2m 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B ) )
64, 5mpan2 409 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y  y  =  B ) )
7 r19.35-1 2477 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y  y  =  B )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  E. x  e.  A  E. y  y  =  B
) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  E. x  e.  A  E. y  y  =  B ) )
98imp 119 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. x  e.  A  E. y 
y  =  B )
10 rexcom4 2594 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  E. y E. x  e.  A  y  =  B )
119, 10sylib 131 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. y E. x  e.  A  y  =  B )
12 abid 2044 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. x  e.  A  y  =  B )
1312exbii 1512 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. y E. x  e.  A  y  =  B )
1411, 13sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. y 
y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
15 nfv 1437 . . . . 5  |-  F/ z  y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
16 nfsab1 2046 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
17 eleq1 2116 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
1815, 16, 17cbvex 1655 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. z  z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
1914, 18sylib 131 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. z 
z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
20 inteximm 3931 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
222, 21eqeltrd 2130 1  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574   |^|cint 3643   |^|_ciin 3686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-in 2952  df-ss 2959  df-int 3644  df-iin 3688
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