Theorem iinin2m 3881

Description: Indexed intersection of intersection. Compare to Theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinin2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iinin2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3455	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) ) )
2		elin 3259	. . . . 5 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3	2	ralbii 2441	. . . 4 |- ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4		vex 2689	. . . . . 6 |- y e. _V
5		eliin 3818	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
7	6	anbi2i 452	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) )
8	1, 3, 7	3bitr4g 222	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) ) )
9		eliin 3818	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) ) )
10	4, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) )
11		elin 3259	. . 3 |- ( y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 222	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) ) )
13	12	eqrdv 2137	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   |^|_ciin 3814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-in 3077  df-iin 3816

This theorem is referenced by:  iinin1m  3882