ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iisermulc2 Unicode version

Theorem iisermulc2 9834
Description: Multiplication of an infinite series by a constant. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isermulc2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isermulc2.4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
isermulc2.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC ) 
~~>  A )
isermulc2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
isermulc2.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iisermulc2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G ,  CC ) 
~~>  ( C  x.  A
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    C, k    k, G    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iisermulc2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isermulc2.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isermulc2.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC ) 
~~>  A )
4 isermulc2.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 iseqex 9187 . . 3  |-  seq M
(  +  ,  G ,  CC )  e.  _V
65a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G ,  CC )  e.  _V )
7 isermulc2.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
81, 2, 7iserf 9207 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC ) : Z --> CC )
98ffvelrnda 5302 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  j )  e.  CC )
10 addcl 7004 . . . 4  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  +  x
)  e.  CC )
1110adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  +  x )  e.  CC )
124adantr 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
13 adddi 7011 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( k  +  x ) )  =  ( ( C  x.  k )  +  ( C  x.  x ) ) )
14133expb 1105 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( k  +  x
) )  =  ( ( C  x.  k
)  +  ( C  x.  x ) ) )
1512, 14sylan 267 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  ( k  +  x
) )  =  ( ( C  x.  k
)  +  ( C  x.  x ) ) )
16 simpr 103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1716, 1syl6eleq 2130 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
181eleq2i 2104 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 7sylan2br 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
2019adantlr 446 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
21 isermulc2.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
2218, 21sylan2br 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( C  x.  ( F `
 k ) ) )
2322adantlr 446 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( C  x.  ( F `
 k ) ) )
24 cnex 7003 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2524a1i 9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  CC  e.  _V )
26 mulcl 7006 . . . 4  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
2726adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
284adantr 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
2928, 7mulcld 7045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  x.  ( F `  k ) )  e.  CC )
3021, 29eqeltrd 2114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3118, 30sylan2br 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3231adantlr 446 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3311, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 32, 12iseqdistr 9223 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  G ,  CC ) `  j )  =  ( C  x.  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  j ) ) )
341, 2, 3, 4, 6, 9, 33climmulc2 9825 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G ,  CC ) 
~~>  ( C  x.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6885    + caddc 6890    x. cmul 6892   ZZcz 8243   ZZ>=cuz 8471    seqcseq 9185    ~~> cli 9773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000  ax-arch 7001  ax-caucvg 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-iseq 9186  df-iexp 9229  df-cj 9416  df-re 9417  df-im 9418  df-rsqrt 9570  df-abs 9571  df-clim 9774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator