ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imcl Unicode version

Theorem imcl 10594
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 10591 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
2 negicn 7931 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
3 mulcl 7715 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
42, 3mpan 420 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
5 recl 10593 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
71, 6eqeltrd 2194 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   _ici 7590    x. cmul 7593   -ucneg 7902   Recre 10580   Imcim 10581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-2 8747  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584
This theorem is referenced by:  imf  10596  remim  10600  mulreap  10604  cjreb  10606  recj  10607  reneg  10608  readd  10609  remullem  10611  remul2  10613  imcj  10615  imneg  10616  imadd  10617  imsub  10618  immul2  10620  imdivap  10621  cjcj  10623  cjadd  10624  ipcnval  10626  cjmulval  10628  cjmulge0  10629  cjneg  10630  imval2  10634  cnrecnv  10650  imcli  10652  imcld  10679  cnreim  10718  abs00ap  10802  absrele  10823  efeul  11368  absef  11403  absefib  11404  efieq1re  11405
  Copyright terms: Public domain W3C validator