Theorem imi 10665

Description: The imaginary part of _i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imi	|- ( Im ` _i ) = 1

Proof of Theorem imi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7708	. . . . . 6 |- _i e. CC
2		ax-1cn 7706	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3	1, 2	mulcli 7764	. . . . 5 |- ( _i x. 1 ) e. CC
4	3	addid2i 7898	. . . 4 |- ( 0 + ( _i x. 1 ) ) = ( _i x. 1 )
5	4	eqcomi 2141	. . 3 |- ( _i x. 1 ) = ( 0 + ( _i x. 1 ) )
6	5	fveq2i 5417	. 2 |- ( Im ` ( _i x. 1 ) ) = ( Im ` ( 0 + ( _i x. 1 ) ) )
7	1	mulid1i 7761	. . 3 |- ( _i x. 1 ) = _i
8	7	fveq2i 5417	. 2 |- ( Im ` ( _i x. 1 ) ) = ( Im ` _i )
9		0re 7759	. . 3 |- 0 e. RR
10		1re 7758	. . 3 |- 1 e. RR
11		crim 10623	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( Im ` ( 0 + ( _i x. 1 ) ) ) = 1 )
12	9, 10, 11	mp2an 422	. 2 |- ( Im ` ( 0 + ( _i x. 1 ) ) ) = 1
13	6, 8, 12	3eqtr3i 2166	1 |- ( Im ` _i ) = 1

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   _ici 7615   + caddc 7616   x. cmul 7618   Imcim 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609

This theorem is referenced by:  cji  10667