Theorem imval 10622

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Proof of Theorem imval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		ax-icn 7715	. . . . . 6 |- _i e. CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
4		iap0 8943	. . . . . 6 |- _i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i # 0 )
6	1, 3, 5	divclapd 8550	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) e. CC )
7		reval 10621	. . . 4 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
9		cjcl 10620	. . . . . 6 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
11	6, 10	addcld 7785	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) e. CC )
12	11	halfcld 8964	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) e. CC )
13	8, 12	eqeltrd 2216	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC )
14		oveq1 5781	. . . 4 |- ( x = A -> ( x / _i ) = ( A / _i ) )
15	14	fveq2d 5425	. . 3 |- ( x = A -> ( Re ` ( x / _i ) ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
16		df-im 10616	. . 3 |- Im = ( x e. CC |-> ( Re ` ( x / _i ) ) )
17	15, 16	fvmptg 5497	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC ) -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
18	13, 17	mpdan 417	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   _ici 7622   + caddc 7623   # cap 8343   / cdiv 8432   2c2 8771   *ccj 10611   Recre 10612   Imcim 10613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616

This theorem is referenced by:  imre  10623  reim  10624  imf  10628  crim  10630