Theorem incom 3268

Description: Commutative law for intersection of classes. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
incom	|- ( A i^i B ) = ( B i^i A )

Proof of Theorem incom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 264	. . 3 |- ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> ( x e. B /\ x e. A ) )
2		elin 3259	. . 3 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
3		elin 3259	. . 3 |- ( x e. ( B i^i A ) <-> ( x e. B /\ x e. A ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 211	. 2 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> x e. ( B i^i A ) )
5	4	eqriv 2136	1 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   i^i cin 3070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077

This theorem is referenced by:  ineq2  3271  dfss1  3280  in12  3287  in32  3288  in13  3289  in31  3290  inss2  3297  sslin  3302  inss  3306  indif1  3321  indifcom  3322  indir  3325  symdif1  3341  dfrab2  3351  0in  3398  disjr  3412  ssdifin0  3444  difdifdirss  3447  uneqdifeqim  3448  diftpsn3  3661  iunin1  3877  iinin1m  3882  riinm  3885  rintm  3905  inex2  4063  onintexmid  4487  resiun1  4838  dmres  4840  rescom  4844  resima2  4853  xpssres  4854  resindm  4861  resdmdfsn  4862  resopab  4863  imadisj  4901  ndmima  4916  intirr  4925  djudisj  4966  imainrect  4984  dmresv  4997  resdmres  5030  funimaexg  5207  fnresdisj  5233  fnimaeq0  5244  resasplitss  5302  f0rn0  5317  fvun2  5488  ressnop0  5601  fvsnun1  5617  fsnunfv  5621  offres  6033  smores3  6190  phplem2  6747  unfiin  6814  xpfi  6818  endjusym  6981  djucomen  7072  fzpreddisj  9851  fseq1p1m1  9874  hashunlem  10550  zfz1isolem1  10583  znnen  11911  setsfun  11994  setsfun0  11995  setsslid  12009  restin  12345  metreslem  12549  bdinex2  13098