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Theorem indifdir 3221
Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
indifdir  |-  ( ( A  \  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) )

Proof of Theorem indifdir
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3154 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
2 elin 3154 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
32notbii 604 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  ( B  i^i  C )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)
41, 3anbi12i 441 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  C )  /\  -.  x  e.  ( B  i^i  C ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) ) )
5 eldif 2955 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  C )  \ 
( B  i^i  C
) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  C
)  /\  -.  x  e.  ( B  i^i  C
) ) )
6 elin 3154 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x  e.  C ) )
7 eldif 2955 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
87anbi1i 439 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x  e.  C )  <->  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C ) )
96, 8bitri 177 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C ) )
10 an32 504 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  x  e.  B
) )
11 simpl 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  B )
1211con3i 572 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  B  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1312anim2i 328 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  x  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
14 simpl 106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
15 ax-in2 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  C )  -> F.  ) )
1615expcomd 1346 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  C  ->  ( x  e.  B  -> F.  ) ) )
1716impcom 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  C  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )  ->  (
x  e.  B  -> F.  ) )
18 dfnot 1278 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  -> F.  )
)
1917, 18sylibr 141 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )  ->  -.  x  e.  B )
2019adantll 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  -.  x  e.  B )
2114, 20jca 294 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  x  e.  B
) )
2213, 21impbii 121 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
2310, 22bitri 177 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
249, 23bitri 177 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
254, 5, 243bitr4ri 206 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  x  e.  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) ) )
2625eqriv 2053 1  |-  ( ( A  \  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259   F. wfal 1264    e. wcel 1409    \ cdif 2942    i^i cin 2944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-dif 2948  df-in 2952
This theorem is referenced by: (None)
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