ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 7565
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7181 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 0lt1 7303 . . . . 5  |-  0  <  1
31, 2gtneii 7273 . . . 4  |-  1  =/=  0
43neii 2248 . . 3  |-  -.  1  =  0
5 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
6 ax-icn 7133 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76mul01i 7562 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
85, 7syl6req 2131 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
98oveq1d 5558 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
10 ax-1cn 7131 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1110addid2i 7318 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 ax-i2m1 7143 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
139, 11, 123eqtr3g 2137 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
144, 13mto 621 . 2  |-  -.  _i  =  0
1514neir 2249 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1285    =/= wne 2246  (class class class)co 5543   0cc0 7043   1c1 7044   _ici 7045    + caddc 7046    x. cmul 7048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-sub 7348
This theorem is referenced by:  inelr  7751
  Copyright terms: Public domain W3C validator