Theorem inelr 8346

Description: The imaginary unit _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	|- -. _i e. RR

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8156	. . 3 |- _i =/= 0
2	1	neii 2310	. 2 |- -. _i = 0
3		0lt1 7889	. . . . . 6 |- 0 < 1
4		0re 7766	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
5		1re 7765	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
6	4, 5	ltnsymi 7863	. . . . . 6 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1 < 0
8		ixi 8345	. . . . . . . 8 |- ( _i x. _i ) = -u 1
9	5	renegcli 8024	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
10	8, 9	eqeltri 2212	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) e. RR
11	4, 10, 5	ltadd1i 8264	. . . . . 6 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
12		ax-1cn 7713	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
13	12	addid2i 7905	. . . . . . 7 |- ( 0 + 1 ) = 1
14		ax-i2m1 7725	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
15	13, 14	breq12i 3938	. . . . . 6 |- ( ( 0 + 1 ) < ( ( _i x. _i ) + 1 ) <-> 1 < 0 )
16	11, 15	bitri 183	. . . . 5 |- ( 0 < ( _i x. _i ) <-> 1 < 0 )
17	7, 16	mtbir 660	. . . 4 |- -. 0 < ( _i x. _i )
18		mullt0 8242	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) /\ ( _i e. RR /\ _i < 0 ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
19	18	anidms 394	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ _i < 0 ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
20	19	ex 114	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( _i < 0 -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
21	17, 20	mtoi 653	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. _i < 0 )
22		mulgt0 7839	. . . . . 6 |- ( ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) /\ ( _i e. RR /\ 0 < _i ) ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
23	22	anidms 394	. . . . 5 |- ( ( _i e. RR /\ 0 < _i ) -> 0 < ( _i x. _i ) )
24	23	ex 114	. . . 4 |- ( _i e. RR -> ( 0 < _i -> 0 < ( _i x. _i ) ) )
25	17, 24	mtoi 653	. . 3 |- ( _i e. RR -> -. 0 < _i )
26		lttri3 7844	. . . 4 |- ( ( _i e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
27	4, 26	mpan2 421	. . 3 |- ( _i e. RR -> ( _i = 0 <-> ( -. _i < 0 /\ -. 0 < _i ) ) )
28	21, 25, 27	mpbir2and 928	. 2 |- ( _i e. RR -> _i = 0 )
29	2, 28	mto 651	1 |- -. _i e. RR

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   -ucneg 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936

This theorem is referenced by:  rimul  8347