Theorem infisoti 6912

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infisoti.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
infisoti.2	|- ( ph -> C C_ A )
infisoti.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
infisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infisoti	|- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, C, v, x, y, z   u, F, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   u, S, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infisoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infisoti.1	. . . 4 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		isocnv2 5706	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) <-> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
3	1, 2	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
4		infisoti.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
5		infisoti.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
6	5	cnvinfex 6898	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. C y `' R z ) ) )
7		infisoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	cnvti 6899	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
9	3, 4, 6, 8	supisoti 6890	. 2 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , `' S ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) ) )
10		df-inf 6865	. 2 |- inf ( ( F " C ) , B , S ) = sup ( ( F " C ) , B , `' S )
11		df-inf 6865	. . 3 |- inf ( C , A , R ) = sup ( C , A , `' R )
12	11	fveq2i 5417	. 2 |- ( F ` inf ( C , A , R ) ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) )
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2195	1 |- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   "cima 4537   ` cfv 5118   Isom wiso 5119   supcsup 6862  infcinf 6863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-sup 6864  df-inf 6865

This theorem is referenced by: (None)