Theorem inss1 3291

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	|- ( A i^i B ) C_ A

Proof of Theorem inss1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3254	. . 3 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
2	1	simplbi 272	. 2 |- ( x e. ( A i^i B ) -> x e. A )
3	2	ssriv 3096	1 |- ( A i^i B ) C_ A

Syntax hints:   e. wcel 1480   i^i cin 3065   C_ wss 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079

This theorem is referenced by:  inss2  3292  ssinss1  3300  unabs  3302  inssddif  3312  inv1  3394  disjdif  3430  inundifss  3435  relin1  4652  resss  4838  resmpt3  4863  cnvcnvss  4988  funin  5189  funimass2  5196  fnresin1  5232  fnres  5234  fresin  5296  ssimaex  5475  fneqeql2  5522  isoini2  5713  ofrfval  5983  ofvalg  5984  ofrval  5985  off  5987  ofres  5989  ofco  5993  smores  6182  smores2  6184  tfrlem5  6204  pmresg  6563  unfiin  6807  sbthlem7  6844  peano5nnnn  7693  peano5nni  8716  rexanuz  10753  fvsetsid  11982  tgvalex  12208  tgval2  12209  eltg3  12215  tgcl  12222  tgdom  12230  tgidm  12232  epttop  12248  ntropn  12275  ntrin  12282  cnptopresti  12396  cnptoprest  12397  txcnmpt  12431  xmetres  12540  metres  12541  blin2  12590  metrest  12664  tgioo  12704  limcresi  12793