Theorem intfracq 9402

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 9401. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
intfracq.2	|- F = ( ( M / N ) - Z )

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 8790	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. QQ )
2		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
3		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ( ( M / N ) - Z )
4	2, 3	intqfrac2 9401	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
6	5	simp1d 951	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 9362	. . . . . . 7 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
9	2	oveq2i 5554	. . . . . . . 8 |- ( ( M / N ) - Z ) = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
10	3, 9	eqtri 2102	. . . . . . 7 |- F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
11	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) )
12		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
13	12	nncnd 8120	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
14	12	nnap0d 8151	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
15	13, 14	dividapd 7941	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N / N ) = 1 )
16	8, 11, 15	3brtr4d 3823	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F < ( N / N ) )
17		qre 8791	. . . . . . . . 9 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( M / N ) e. RR )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. RR )
19	1	flqcld 9359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. ZZ )
20	2, 19	syl5eqel 2166	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. ZZ )
21	20	zred 8550	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. RR )
22	18, 21	resubcld 7552	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - Z ) e. RR )
23	3, 22	syl5eqel 2166	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F e. RR )
24		nnre 8113	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
25	24	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
26		nngt0 8131	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
27	24, 26	jca 300	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
28	27	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
29		ltmuldiv2 8020	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1170	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
31	16, 30	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) < N )
32	3	oveq2i 5554	. . . . . . 7 |- ( N x. F ) = ( N x. ( ( M / N ) - Z ) )
33	18	recnd 7209	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. CC )
34	20	zcnd 8551	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. CC )
35	13, 33, 34	subdid 7585	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( ( M / N ) - Z ) ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
36	32, 35	syl5eq 2126	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
37		zcn 8437	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
38	37	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. CC )
39	38, 13, 14	divcanap2d 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
40		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
41	39, 40	eqeltrd 2156	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) e. ZZ )
42		nnz 8451	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	43, 20	zmulcld 8556	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. Z ) e. ZZ )
45	41, 44	zsubcld 8555	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) e. ZZ )
46	36, 45	eqeltrd 2156	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) e. ZZ )
47		zltlem1 8489	. . . . 5 |- ( ( ( N x. F ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
48	46, 43, 47	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
49	31, 48	mpbid 145	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) )
50		peano2rem 7442	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
52	51	adantl 271	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
53		lemuldiv2 8027	. . . 4 |- ( ( F e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
55	49, 54	mpbid 145	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
56	5	simp3d 953	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) = ( Z + F ) )
57	6, 55, 56	3jca 1119	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044   + caddc 7046   x. cmul 7048   < clt 7215   <_ cle 7216   - cmin 7346   / cdiv 7827   NNcn 8106   ZZcz 8432   QQcq 8785   |_cfl 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-q 8786  df-rp 8816  df-fl 9352

This theorem is referenced by:  flqdiv  9403