Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intfracq Unicode version

Theorem intfracq 9402
 Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 9401. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfracq.1
intfracq.2
Assertion
Ref Expression
intfracq

Proof of Theorem intfracq
StepHypRef Expression
1 znq 8790 . . . 4
2 intfracq.1 . . . . 5
3 intfracq.2 . . . . 5
42, 3intqfrac2 9401 . . . 4
51, 4syl 14 . . 3
65simp1d 951 . 2
7 qfraclt1 9362 . . . . . . 7
81, 7syl 14 . . . . . 6
92oveq2i 5554 . . . . . . . 8
103, 9eqtri 2102 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6
12 simpr 108 . . . . . . . 8
1312nncnd 8120 . . . . . . 7
1412nnap0d 8151 . . . . . . 7 #
1513, 14dividapd 7941 . . . . . 6
168, 11, 153brtr4d 3823 . . . . 5
17 qre 8791 . . . . . . . . 9
181, 17syl 14 . . . . . . . 8
191flqcld 9359 . . . . . . . . . 10
202, 19syl5eqel 2166 . . . . . . . . 9
2120zred 8550 . . . . . . . 8
2218, 21resubcld 7552 . . . . . . 7
233, 22syl5eqel 2166 . . . . . 6
24 nnre 8113 . . . . . . 7
2524adantl 271 . . . . . 6
26 nngt0 8131 . . . . . . . 8
2724, 26jca 300 . . . . . . 7
2827adantl 271 . . . . . 6
29 ltmuldiv2 8020 . . . . . 6
3023, 25, 28, 29syl3anc 1170 . . . . 5
3116, 30mpbird 165 . . . 4
323oveq2i 5554 . . . . . . 7
3318recnd 7209 . . . . . . . 8
3420zcnd 8551 . . . . . . . 8
3513, 33, 34subdid 7585 . . . . . . 7
3632, 35syl5eq 2126 . . . . . 6
37 zcn 8437 . . . . . . . . . 10
3837adantr 270 . . . . . . . . 9
3938, 13, 14divcanap2d 7946 . . . . . . . 8
40 simpl 107 . . . . . . . 8
4139, 40eqeltrd 2156 . . . . . . 7
42 nnz 8451 . . . . . . . . 9
4342adantl 271 . . . . . . . 8
4443, 20zmulcld 8556 . . . . . . 7
4541, 44zsubcld 8555 . . . . . 6
4636, 45eqeltrd 2156 . . . . 5
47 zltlem1 8489 . . . . 5
4846, 43, 47syl2anc 403 . . . 4
4931, 48mpbid 145 . . 3
50 peano2rem 7442 . . . . . 6
5124, 50syl 14 . . . . 5
5251adantl 271 . . . 4
53 lemuldiv2 8027 . . . 4
5423, 52, 28, 53syl3anc 1170 . . 3
5549, 54mpbid 145 . 2
565simp3d 953 . 2
576, 55, 563jca 1119 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   w3a 920   wceq 1285   wcel 1434   class class class wbr 3793  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  cc0 7043  c1 7044   caddc 7046   cmul 7048   clt 7215   cle 7216   cmin 7346   cdiv 7827  cn 8106  cz 8432  cq 8785  cfl 9350 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-q 8786  df-rp 8816  df-fl 9352 This theorem is referenced by:  flqdiv  9403
 Copyright terms: Public domain W3C validator