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Theorem inuni 3937
Description: The intersection of a union  U. A with a class  B is equal to the union of the intersections of each element of  A with  B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
inuni  |-  ( U. A  i^i  B )  = 
U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) }
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y

Proof of Theorem inuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 3612 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  z  e.  y )
21anbi1i 439 . . . 4  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  z  e.  B
)  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B
) )
3 elin 3154 . . . 4  |-  ( z  e.  ( U. A  i^i  B )  <->  ( z  e.  U. A  /\  z  e.  B ) )
4 ancom 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B ) )  <->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B )  /\  z  e.  x ) )
5 r19.41v 2483 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  A  ( x  =  ( y  i^i  B )  /\  z  e.  x )  <->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B )  /\  z  e.  x ) )
64, 5bitr4i 180 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B ) )  <->  E. y  e.  A  ( x  =  ( y  i^i 
B )  /\  z  e.  x ) )
76exbii 1512 . . . . . 6  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B
) )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  =  (
y  i^i  B )  /\  z  e.  x
) )
8 rexcom4 2594 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  =  (
y  i^i  B )  /\  z  e.  x
) )
97, 8bitr4i 180 . . . . 5  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B
) )  <->  E. y  e.  A  E. x
( x  =  ( y  i^i  B )  /\  z  e.  x
) )
10 vex 2577 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1110inex1 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  B )  e. 
_V
12 eleq2 2117 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i 
B )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( y  i^i  B
) ) )
1311, 12ceqsexv 2610 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  z  e.  ( y  i^i  B
) )
14 elin 3154 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
B )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
1513, 14bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
1615rexbii 2348 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
17 r19.41v 2483 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( z  e.  y  /\  z  e.  B )  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B )
)
1816, 17bitri 177 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  =  ( y  i^i  B
)  /\  z  e.  x )  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
199, 18bitri 177 . . . 4  |-  ( E. x ( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B
) )  <->  ( E. y  e.  A  z  e.  y  /\  z  e.  B ) )
202, 3, 193bitr4i 205 . . 3  |-  ( z  e.  ( U. A  i^i  B )  <->  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) ) )
21 eluniab 3620 . . 3  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) }  <->  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) ) )
2220, 21bitr4i 180 . 2  |-  ( z  e.  ( U. A  i^i  B )  <->  z  e.  U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i 
B ) } )
2322eqriv 2053 1  |-  ( U. A  i^i  B )  = 
U. { x  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  i^i  B ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   E.wrex 2324    i^i cin 2944   U.cuni 3608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329  df-v 2576  df-in 2952  df-uni 3609
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