ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioof Unicode version

Theorem ioof 9070
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9007 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) } )
2 ioossre 9034 . . . . 5  |-  ( x (,) y )  C_  RR
3 df-ov 5546 . . . . . . 7  |-  ( x (,) y )  =  ( (,) `  <. x ,  y >. )
4 iooex 9006 . . . . . . . 8  |-  (,)  e.  _V
5 vex 2605 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 vex 2605 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
75, 6opex 3992 . . . . . . . 8  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
84, 7fvex 5226 . . . . . . 7  |-  ( (,) `  <. x ,  y
>. )  e.  _V
93, 8eqeltri 2152 . . . . . 6  |-  ( x (,) y )  e. 
_V
109elpw 3396 . . . . 5  |-  ( ( x (,) y )  e.  ~P RR  <->  ( x (,) y )  C_  RR )
112, 10mpbir 144 . . . 4  |-  ( x (,) y )  e. 
~P RR
121, 11syl6eqelr 2171 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR )
1312rgen2a 2418 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <  z  /\  z  <  y ) }  e.  ~P RR
14 df-ioo 8991 . . 3  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
1514fmpt2 5858 . 2  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <  z  /\  z  < 
y ) }  e.  ~P RR  <->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR )
1613, 15mpbi 143 1  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    e. wcel 1434   A.wral 2349   {crab 2353   _Vcvv 2602    C_ wss 2974   ~Pcpw 3390   <.cop 3409   class class class wbr 3793    X. cxp 4369   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   RRcr 7042   RR*cxr 7214    < clt 7215   (,)cioo 8987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-ioo 8991
This theorem is referenced by:  unirnioo  9072  dfioo2  9073  ioorebasg  9074
  Copyright terms: Public domain W3C validator