ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseq1 Unicode version

Theorem iseq1 9522
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseq1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseq1.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseq1.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseq1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x,  .+ , y    x, M, y    x, S, y    ph, x, y

Proof of Theorem iseq1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseq1.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 eqid 2082 . 2  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )
3 fveq2 5203 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
43eleq1d 2148 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
5 iseq1.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
65ralrimiva 2435 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
7 uzid 8703 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
94, 6, 8rspcdva 2708 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
10 iseq1.pl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
115, 10iseqovex 9518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
12 eqid 2082 . 2  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
1312, 5, 10iseqval 9519 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  ran frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. ) )
141, 2, 9, 11, 12, 13frecuzrdg0 9484 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3403    |-> cmpt 3841   ` cfv 4926  (class class class)co 5537    |-> cmpt2 5539  freccfrec 6033   1c1 7033    + caddc 7035   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689    seqcseq 9510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-iseq 9511
This theorem is referenced by:  iseqoveq  9529  iseqss  9530  iseqsst  9531  iseqfveq2  9533  iseqfveq  9535  iseqshft2  9537  iseqsplit  9543  iseq1p  9544  iseqcaopr3  9545  iseqid3s  9551  iseqid  9552  iseqhomo  9554  iseqz  9555  expivallem  9563  exp1  9568  fac1  9742  bcn2  9777  resqrexlemf1  10021  ialgr0  10559
  Copyright terms: Public domain W3C validator