Theorem iseqcaopr2 9557

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcaopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqcaopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
iseqcaopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
iseqcaopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcaopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
iseqcaopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
iseqcaopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
iseqcaopr2.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqcaopr2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, .+ , x, y, z   k, F, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, H, x, y, z   k, M, w, x, y, z   k, N, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   S, k, w, x, y, z   ph, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( w)   N( w)   V( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem iseqcaopr2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcaopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqcaopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		iseqcaopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		iseqcaopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		iseqcaopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		iseqcaopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		elfzouz 9238	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
9	5	ralrimiva 2435	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
10	9	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
11		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
12	11	eleq1d 2148	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
13	12	rspccva 2701	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
14	10, 13	sylan 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
15	1	adantlr 461	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
16	8, 14, 15	iseqcl 9537	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) e. S )
17		fzssuz 9159	. . . . 5 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
18		fzofzp1 9313	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
19	17, 18	sseldi 2998	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
20		fveq2 5209	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2148	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
22	21	rspccva 2701	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
23	9, 19, 22	syl2an 283	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
24	4	ralrimiva 2435	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
25		fveq2 5209	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
26	25	eleq1d 2148	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
27	26	rspccva 2701	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
28	24, 27	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
29	28	adantlr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
30	8, 29, 15	iseqcl 9537	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
31		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
32	31	eleq1d 2148	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
33	32	rspccva 2701	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
34	24, 19, 33	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
35		iseqcaopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
36	35	anassrs 392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
37	36	ralrimivva 2444	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
38	37	ralrimivva 2444	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
39	38	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
40		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) )
41	40	oveq1d 5558	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
42		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) )
43	42	oveq1d 5558	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
44	41, 43	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
45	44	2ralbidv 2391	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
46		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
47	46	oveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
48		oveq2 5551	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
49	48	oveq1d 5558	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
50	47, 49	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
51	50	2ralbidv 2391	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
52	45, 51	rspc2va 2715	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
53	30, 34, 39, 52	syl21anc 1169	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
54		oveq2 5551	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) )
55	54	oveq1d 5558	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
56		oveq1 5550	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) )
57	56	oveq2d 5559	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) )
58	55, 57	eqeq12d 2096	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) ) )
59		oveq2 5551	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 5559	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
61		oveq2 5551	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	oveq2d 5559	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
63	60, 62	eqeq12d 2096	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
64	58, 63	rspc2va 2715	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
65	16, 23, 53, 64	syl21anc 1169	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
66		iseqcaopr2.s	. 2 |- ( ph -> S e. V )
67	1, 2, 3, 4, 5, 6, 65, 66	iseqcaopr3 9556	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044   + caddc 7046   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105  ..^cfzo 9229   seqcseq 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-fzo 9230  df-iseq 9522

This theorem is referenced by:  iseqcaopr  9558  isersub  9560