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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > iseqcaopr2 | Unicode version |
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) |
Ref | Expression |
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iseqcaopr2.1 |
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iseqcaopr2.2 |
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iseqcaopr2.3 |
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iseqcaopr2.4 |
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iseqcaopr2.5 |
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iseqcaopr2.6 |
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iseqcaopr2.7 |
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iseqcaopr2.s |
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Ref | Expression |
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iseqcaopr2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | iseqcaopr2.1 |
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2 | iseqcaopr2.2 |
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3 | iseqcaopr2.4 |
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4 | iseqcaopr2.5 |
. 2
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5 | iseqcaopr2.6 |
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6 | iseqcaopr2.7 |
. 2
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7 | elfzouz 9238 |
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8 | 7 | adantl 271 |
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9 | 5 | ralrimiva 2435 |
. . . . . 6
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10 | 9 | adantr 270 |
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11 | fveq2 5209 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | eleq1d 2148 |
. . . . . 6
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13 | 12 | rspccva 2701 |
. . . . 5
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14 | 10, 13 | sylan 277 |
. . . 4
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15 | 1 | adantlr 461 |
. . . 4
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16 | 8, 14, 15 | iseqcl 9537 |
. . 3
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17 | fzssuz 9159 |
. . . . 5
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18 | fzofzp1 9313 |
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19 | 17, 18 | sseldi 2998 |
. . . 4
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20 | fveq2 5209 |
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21 | 20 | eleq1d 2148 |
. . . . 5
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22 | 21 | rspccva 2701 |
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23 | 9, 19, 22 | syl2an 283 |
. . 3
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24 | 4 | ralrimiva 2435 |
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25 | fveq2 5209 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | eleq1d 2148 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | rspccva 2701 |
. . . . . . 7
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28 | 24, 27 | sylan 277 |
. . . . . 6
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29 | 28 | adantlr 461 |
. . . . 5
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30 | 8, 29, 15 | iseqcl 9537 |
. . . 4
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31 | fveq2 5209 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | eleq1d 2148 |
. . . . . 6
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33 | 32 | rspccva 2701 |
. . . . 5
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34 | 24, 19, 33 | syl2an 283 |
. . . 4
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35 | iseqcaopr2.3 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | anassrs 392 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | ralrimivva 2444 |
. . . . . 6
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38 | 37 | ralrimivva 2444 |
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39 | 38 | adantr 270 |
. . . 4
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40 | oveq1 5550 |
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41 | 40 | oveq1d 5558 |
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42 | oveq1 5550 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | oveq1d 5558 |
. . . . . . 7
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44 | 41, 43 | eqeq12d 2096 |
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45 | 44 | 2ralbidv 2391 |
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46 | oveq1 5550 |
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47 | 46 | oveq2d 5559 |
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48 | oveq2 5551 |
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49 | 48 | oveq1d 5558 |
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50 | 47, 49 | eqeq12d 2096 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2064 ax-coll 3901 ax-sep 3904 ax-nul 3912 ax-pow 3956 ax-pr 3972 ax-un 4196 ax-setind 4288 ax-iinf 4337 ax-cnex 7129 ax-resscn 7130 ax-1cn 7131 ax-1re 7132 ax-icn 7133 ax-addcl 7134 ax-addrcl 7135 ax-mulcl 7136 ax-addcom 7138 ax-addass 7140 ax-distr 7142 ax-i2m1 7143 ax-0lt1 7144 ax-0id 7146 ax-rnegex 7147 ax-cnre 7149 ax-pre-ltirr 7150 ax-pre-ltwlin 7151 ax-pre-lttrn 7152 ax-pre-ltadd 7154 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1687 df-eu 1945 df-mo 1946 df-clab 2069 df-cleq 2075 df-clel 2078 df-nfc 2209 df-ne 2247 df-nel 2341 df-ral 2354 df-rex 2355 df-reu 2356 df-rab 2358 df-v 2604 df-sbc 2817 df-csb 2910 df-dif 2976 df-un 2978 df-in 2980 df-ss 2987 df-nul 3259 df-pw 3392 df-sn 3412 df-pr 3413 df-op 3415 df-uni 3610 df-int 3645 df-iun 3688 df-br 3794 df-opab 3848 df-mpt 3849 df-tr 3884 df-id 4056 df-iord 4129 df-on 4131 df-ilim 4132 df-suc 4134 df-iom 4340 df-xp 4377 df-rel 4378 df-cnv 4379 df-co 4380 df-dm 4381 df-rn 4382 df-res 4383 df-ima 4384 df-iota 4897 df-fun 4934 df-fn 4935 df-f 4936 df-f1 4937 df-fo 4938 df-f1o 4939 df-fv 4940 df-riota 5499 df-ov 5546 df-oprab 5547 df-mpt2 5548 df-1st 5798 df-2nd 5799 df-recs 5954 df-frec 6040 df-pnf 7217 df-mnf 7218 df-xr 7219 df-ltxr 7220 df-le 7221 df-sub 7348 df-neg 7349 df-inn 8107 df-n0 8356 df-z 8433 df-uz 8701 df-fz 9106 df-fzo 9230 df-iseq 9522 |
This theorem is referenced by: iseqcaopr 9558 isersub 9560 |
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