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Theorem iseqcaopr2 9215
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqcaopr2.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqcaopr2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
iseqcaopr2.3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
iseqcaopr2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqcaopr2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
iseqcaopr2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
iseqcaopr2.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
iseqcaopr2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iseqcaopr2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    w,  .+ , x, y, z    k, F, w, x, y, z    k, G, w, x, y, z   
k, H, x, y, z    k, M, w, x, y, z    k, N, x, y, z    Q, k, w, x, y, z    S, k, w, x, y, z    ph, k, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    H( w)    N( w)    V( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem iseqcaopr2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqcaopr2.1 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqcaopr2.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3 iseqcaopr2.4 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 iseqcaopr2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
5 iseqcaopr2.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
6 iseqcaopr2.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
7 elfzouz 9006 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87adantl 262 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
9 iseqcaopr2.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
109adantr 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  S  e.  V
)
115ralrimiva 2392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
1211adantr 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
13 fveq2 5178 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
1413eleq1d 2106 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
1514rspccva 2655 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
1612, 15sylan 267 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
171adantlr 446 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
188, 10, 16, 17iseqcl 9197 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  e.  S )
19 fzssuz 8926 . . . . 5  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
20 fzofzp1 9081 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
2119, 20sseldi 2943 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
22 fveq2 5178 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
2322eleq1d 2106 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
2423rspccva 2655 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
2511, 21, 24syl2an 273 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
264ralrimiva 2392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S )
27 fveq2 5178 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
2827eleq1d 2106 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
2928rspccva 2655 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3026, 29sylan 267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3130adantlr 446 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
328, 10, 31, 17iseqcl 9197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  e.  S )
33 fveq2 5178 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3433eleq1d 2106 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
3534rspccva 2655 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
3626, 21, 35syl2an 273 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
37 iseqcaopr2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
3837anassrs 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
3938ralrimivva 2401 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4039ralrimivva 2401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4140adantr 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
42 oveq1 5519 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( x Q z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) )
4342oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( (
x Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) ) )
44 oveq1 5519 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y )
)
4544oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( (
x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) ) )
4643, 45eqeq12d 2054 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) )  <->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
47462ralbidv 2348 . . . . 5  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
48 oveq1 5519 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
y Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )
4948oveq2d 5528 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) ) )
50 oveq2 5520 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5150oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
5249, 51eqeq12d 2054 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
53522ralbidv 2348 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) ) )
5447, 53rspc2va 2663 . . . 4  |-  ( ( ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
5532, 36, 41, 54syl21anc 1134 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
56 oveq2 5520 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) ) )
5756oveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) ) )
58 oveq1 5519 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( z  .+  w )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  w )
)
5958oveq2d 5528 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w ) ) )
6057, 59eqeq12d 2054 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) )  <-> 
( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w ) ) ) )
61 oveq2 5520 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6261oveq2d 5528 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
63 oveq2 5520 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6463oveq2d 5528 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  w )
)  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6562, 64eqeq12d 2054 . . . 4  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w ) )  <->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6660, 65rspc2va 2663 . . 3  |-  ( ( ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  e.  S  /\  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )  ->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6718, 25, 55, 66syl21anc 1134 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 67, 9iseqcaopr3 9214 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1c1 6888    + caddc 6890   ZZ>=cuz 8471   ...cfz 8872  ..^cfzo 8997    seqcseq 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-fz 8873  df-fzo 8998  df-iseq 9186
This theorem is referenced by:  iseqcaopr  9216  isersub  9218
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