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Theorem iseqcaopr3 9556
Description: Lemma for iseqcaopr2 . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqcaopr3.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqcaopr3.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
iseqcaopr3.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqcaopr3.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
iseqcaopr3.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
iseqcaopr3.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
iseqcaopr3.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
iseqcaopr3.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iseqcaopr3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    .+ , n, x, y    k, F, n, x, y    k, G, n, x, y    k, H, n, x, y    k, M, n, x, y    k, N, n, x, y    Q, k, n, x, y    S, k, n, x, y    ph, k, n, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    V( x, y, k, n)

Proof of Theorem iseqcaopr3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqcaopr3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9127 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 M ) )
5 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M ) )
6 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 M ) )
75, 6oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 z ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  M ) ) )
84, 7eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  M )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  M ) ) ) )
98imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  M )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  M ) ) ) ) )
10 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 n ) )
11 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )
12 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n ) )
1311, 12oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 z ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) ) )
1410, 13eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  n )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) ) ) )
1514imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  n )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) ) ) ) )
16 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )
17 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )
18 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )
1917, 18oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 z ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2016, 19eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
22 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 N ) )
23 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) )
24 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z )  =  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )
2523, 24oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 z ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) ) )
2622, 25eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  N )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) ) ) )
2726imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  z )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  N )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) ) ) ) )
28 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  ( H `  k )  =  ( H `  M ) )
29 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
30 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
3129, 30oveq12d 5561 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 M ) Q ( G `  M
) ) )
3228, 31eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  M )  =  ( ( F `  M
) Q ( G `
 M ) ) ) )
33 iseqcaopr3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
3433ralrimiva 2435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
35 eluzel2 8705 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
361, 35syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 uzid 8714 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3836, 37syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3932, 34, 38rspcdva 2708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  M
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
40 iseqcaopr3.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
4140ralrimivva 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S )
4241adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S )
43 iseqcaopr3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
44 iseqcaopr3.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
45 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x Q y )  =  ( ( F `
 k ) Q y ) )
4645eleq1d 2148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x Q y )  e.  S  <->  ( ( F `  k ) Q y )  e.  S ) )
47 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  k
) Q y )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
4847eleq1d 2148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( ( F `  k ) Q y )  e.  S  <->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S ) )
4946, 48rspc2v 2714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  S  /\  ( G `  k )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S  ->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S ) )
5043, 44, 49syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x Q y )  e.  S  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  e.  S ) )
5142, 50mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S )
5233, 51eqeltrd 2156 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  e.  S
)
5352ralrimiva 2435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  e.  S )
54 fveq2 5209 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  ( H `  k )  =  ( H `  x ) )
5554eleq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( H `  k
)  e.  S  <->  ( H `  x )  e.  S
) )
5655rspcv 2698 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( H `
 k )  e.  S  ->  ( H `  x )  e.  S
) )
5753, 56mpan9 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
58 iseqcaopr3.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5936, 57, 58iseq1 9533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  M
)  =  ( H `
 M ) )
6043ralrimiva 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S )
61 fveq2 5209 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
6261eleq1d 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
6362rspcv 2698 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  S  ->  ( F `  x )  e.  S
) )
6460, 63mpan9 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6536, 64, 58iseq1 9533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6644ralrimiva 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
67 fveq2 5209 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
6867eleq1d 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
6968rspcv 2698 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  S  ->  ( G `  x )  e.  S
) )
7066, 69mpan9 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7136, 70, 58iseq1 9533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
7265, 71oveq12d 5561 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  M ) )  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
7339, 59, 723eqtr4d 2124 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  M
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  M
) ) )
7473a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  M
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  M
) ) ) )
75 oveq1 5550 . . . . . 6  |-  ( (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  H ,  S ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( H `  ( n  +  1
) ) ) )
76 elfzouz 9238 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7776adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7857adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
7958adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8077, 78, 79iseqp1 9538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  H ,  S ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 n )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
81 iseqcaopr3.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
82 fveq2 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( n  +  1
) ) )
83 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
84 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
8583, 84oveq12d 5561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
8682, 85eqeq12d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8734adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
88 fzofzp1 9313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
89 elfzuz 9117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9088, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9190adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
9286, 87, 91rspcdva 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( H `  ( n  +  1
) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9392oveq2d 5559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9464adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
9577, 94, 79iseqp1 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
9670adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
9777, 96, 79iseqp1 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9895, 97oveq12d 5561 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9981, 93, 983eqtr4rd 2125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
10080, 99eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  n )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10175, 100syl5ibr 154 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  n )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
102101expcom 114 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  H ,  S ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  H ,  S ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
1049, 15, 21, 27, 74, 103fzind2 9325 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105  ..^cfzo 9229    seqcseq 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-fzo 9230  df-iseq 9522
This theorem is referenced by:  iseqcaopr2  9557
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