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Theorem iseqdistr 9619
Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqdistr.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqdistr.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T ( x  .+  y ) )  =  ( ( C T x ) 
.+  ( C T y ) ) )
iseqdistr.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqdistr.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqdistr.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  ( C T ( G `
 x ) ) )
iseqdistr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
iseqdistr.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x T y )  e.  S )
iseqdistr.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqdistr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqdistr  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( C T (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, C, y    x, F, y    x, G, y   
x, M, y    x, N, y    x, S, y   
x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem iseqdistr
Dummy variables  b  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqdistr.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqdistr.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
3 iseqdistr.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 iseqdistr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqdistr.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T ( x  .+  y ) )  =  ( ( C T x ) 
.+  ( C T y ) ) )
6 iseqdistr.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
76adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  C  e.  S )
8 iseqdistr.t . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x T y )  e.  S )
98ralrimivva 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x T y )  e.  S )
10 oveq1 5570 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x T y )  =  ( a T y ) )
1110eleq1d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( x T y )  e.  S  <->  ( a T y )  e.  S ) )
12 oveq2 5571 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  (
a T y )  =  ( a T b ) )
1312eleq1d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( a T y )  e.  S  <->  ( a T b )  e.  S ) )
1411, 13cbvral2v 2590 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x T y )  e.  S  <->  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )
159, 14sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )
1615adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )
17 oveq1 5570 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  C  ->  (
a T b )  =  ( C T b ) )
1817eleq1d 2151 . . . . . . 7  |-  ( a  =  C  ->  (
( a T b )  e.  S  <->  ( C T b )  e.  S ) )
19 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( x  .+  y )  ->  ( C T b )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
2019eleq1d 2151 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( x  .+  y )  ->  (
( C T b )  e.  S  <->  ( C T ( x  .+  y ) )  e.  S ) )
2118, 20rspc2va 2722 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  S  /\  ( x  .+  y
)  e.  S )  /\  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S
)  ->  ( C T ( x  .+  y ) )  e.  S )
227, 1, 16, 21syl21anc 1169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T ( x  .+  y ) )  e.  S )
23 oveq2 5571 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  .+  y )  ->  ( C T z )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
24 eqid 2083 . . . . . 6  |-  ( z  e.  S  |->  ( C T z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( C T z ) )
2523, 24fvmptg 5300 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .+  y
)  e.  S  /\  ( C T ( x 
.+  y ) )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( x  .+  y ) )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
261, 22, 25syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( x  .+  y ) )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
27 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
28 oveq2 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  ( C T b )  =  ( C T x ) )
2928eleq1d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  (
( C T b )  e.  S  <->  ( C T x )  e.  S ) )
3018, 29rspc2va 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  S  /\  x  e.  S
)  /\  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )  ->  ( C T x )  e.  S )
317, 27, 16, 30syl21anc 1169 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T x )  e.  S )
32 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( C T z )  =  ( C T x ) )
3332, 24fvmptg 5300 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  ( C T x )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  x )  =  ( C T x ) )
3427, 31, 33syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  x )  =  ( C T x ) )
35 simprr 499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
36 oveq2 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  ( C T b )  =  ( C T y ) )
3736eleq1d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
( C T b )  e.  S  <->  ( C T y )  e.  S ) )
3818, 37rspc2va 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )  ->  ( C T y )  e.  S )
397, 35, 16, 38syl21anc 1169 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T y )  e.  S )
40 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( C T z )  =  ( C T y ) )
4140, 24fvmptg 5300 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( C T y )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y )  =  ( C T y ) )
4235, 39, 41syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y )  =  ( C T y ) )
4334, 42oveq12d 5581 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `
 x )  .+  ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y ) )  =  ( ( C T x )  .+  ( C T y ) ) )
445, 26, 433eqtr4d 2125 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  x
)  .+  ( (
z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y ) ) )
45 iseqdistr.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  ( C T ( G `
 x ) ) )
46 iseqdistr.f . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
4745, 46eqeltrrd 2160 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( C T ( G `  x ) )  e.  S )
48 oveq2 5571 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( G `  x )  ->  ( C T z )  =  ( C T ( G `  x ) ) )
4948, 24fvmptg 5300 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  S  /\  ( C T ( G `
 x ) )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( G `  x ) )  =  ( C T ( G `  x ) ) )
502, 47, 49syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( G `
 x ) )  =  ( C T ( G `  x
) ) )
5150, 45eqtr4d 2118 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
521, 2, 3, 4, 44, 51, 46, 1iseqhomo 9617 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  N
) )
534, 2, 1iseqcl 9589 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
)  e.  S )
548, 6, 53caovcld 5705 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )  e.  S )
55 oveq2 5571 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  N
)  ->  ( C T z )  =  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) ) )
5655, 24fvmptg 5300 . . 3  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
)  e.  S  /\  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) )  e.  S )  ->  (
( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) )  =  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) ) )
5753, 54, 56syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )  =  ( C T (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
5852, 57eqtr3d 2117 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( C T (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    |-> cmpt 3859   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   ZZ>=cuz 8752    seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-iseq 9574
This theorem is referenced by:  iisermulc2  10379
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