ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfcl Unicode version

Theorem iseqfcl 9571
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfcl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseqfcl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseqfcl.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
iseqfcl.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqfcl  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : Z --> S )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, S, y   
x, Z    ph, x, y
Allowed substitution hint:    Z( y)

Proof of Theorem iseqfcl
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfcl.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 eqid 2083 . . 3  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )
3 fveq2 5230 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
43eleq1d 2151 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
5 iseqfcl.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
65ralrimiva 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  ( F `  x )  e.  S )
7 uzid 8750 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9 iseqfcl.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
108, 9syl6eleqr 2176 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
114, 6, 10rspcdva 2716 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
129eleq2i 2149 . . . . 5  |-  ( x  e.  Z  <->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 5sylan2br 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
14 iseqfcl.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
1513, 14iseqovex 9565 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
16 eqid 2083 . . 3  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
1716, 13, 14iseqval 9566 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  ran frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. ) )
181, 2, 11, 15, 16, 17frecuzrdgtcl 9530 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : ( ZZ>= `  M
) --> S )
199feq2i 5092 . 2  |-  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : Z --> S  <->  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) : (
ZZ>= `  M ) --> S )
2018, 19sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : Z --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3420    |-> cmpt 3860   -->wf 4949   ` cfv 4953  (class class class)co 5564    |-> cmpt2 5566  freccfrec 6060   1c1 7080    + caddc 7082   ZZcz 8468   ZZ>=cuz 8736    seqcseq 9557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-iseq 9558
This theorem is referenced by:  iseqoveq  9576  iseqss  9577  iseqsst  9578  iseqfeq2  9581  iseqfeq  9583  iserf  9585  iserfre  9586  facnn  9787  fac0  9788  resqrexlemf  10078  ialgrf  10618
  Copyright terms: Public domain W3C validator