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Theorem iseqfclt 9588
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfclt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseqfclt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseqfclt.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
iseqfclt.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqfclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
Assertion
Ref Expression
iseqfclt  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  T ) : Z --> S )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, S, y   
x, T, y    x, Z    ph, x, y
Allowed substitution hint:    Z( y)

Proof of Theorem iseqfclt
Dummy variables  a  b  s  t  w  z  u  v  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfclt.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5229 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
32eleq1d 2151 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
4 iseqfclt.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
54ralrimiva 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  ( F `  x )  e.  S )
6 uzid 8766 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8 iseqfclt.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
97, 8syl6eleqr 2176 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
103, 5, 9rspcdva 2715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
11 iseqfclt.t . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
12 simprl 498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 simprr 499 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  S )
14 iseqfclt.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
1514caovclg 5704 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  .+  b
)  e.  S )
1615adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S ) )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S
) )  ->  (
a  .+  b )  e.  S )
17 fveq2 5229 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( x  + 
1 )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )
1817eleq1d 2151 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( F `  c
)  e.  S  <->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S
) )
19 fveq2 5229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  c  ->  ( F `  x )  =  ( F `  c ) )
2019eleq1d 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  c  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  c )  e.  S
) )
2120cbvralv 2582 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  Z  ( F `  x )  e.  S  <->  A. c  e.  Z  ( F `  c )  e.  S )
225, 21sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  Z  ( F `  c )  e.  S )
2322adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  A. c  e.  Z  ( F `  c )  e.  S
)
24 peano2uz 8804 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2524, 8syl6eleqr 2176 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  +  1 )  e.  Z )
2612, 25syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  +  1 )  e.  Z )
2718, 23, 26rspcdva 2715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S )
2816, 13, 27caovcld 5705 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  e.  S )
29 oveq1 5570 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
3029fveq2d 5233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  ( z  +  1 ) )  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )
3130oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
32 oveq1 5570 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
33 eqid 2083 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
3431, 32, 33ovmpt2g 5686 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S  /\  (
y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  e.  S )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
3512, 13, 28, 34syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
3635, 28eqeltrd 2159 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
37 iseqvalcbv 9583 . . 3  |- frec ( ( s  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  t  e.  T  |->  <. (
s  +  1 ) ,  ( s ( u  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  v  e.  S  |->  ( v 
.+  ( F `  ( u  +  1
) ) ) ) t ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
388eleq2i 2149 . . . . 5  |-  ( x  e.  Z  <->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3938, 4sylan2br 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
401, 37, 39, 14, 11iseqvalt 9584 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  T )  =  ran frec ( (
s  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  t  e.  T  |->  <. (
s  +  1 ) ,  ( s ( u  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  v  e.  S  |->  ( v 
.+  ( F `  ( u  +  1
) ) ) ) t ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. ) )
411, 10, 11, 36, 37, 40frecuzrdgtclt 9555 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  T ) : ( ZZ>= `  M
) --> S )
428a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  =  ( ZZ>= `  M ) )
4342feq2d 5086 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  T ) : Z --> S 
<->  seq M (  .+  ,  F ,  T ) : ( ZZ>= `  M
) --> S ) )
4441, 43mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  T ) : Z --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    C_ wss 2982   <.cop 3419   -->wf 4948   ` cfv 4952  (class class class)co 5563    |-> cmpt2 5565  freccfrec 6059   1c1 7096    + caddc 7098   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752    seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-iseq 9574
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