ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfn Unicode version

Theorem iseqfn 9219
Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseqfn.ex  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
iseqfn.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqfn.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqfn  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  Fn  ( ZZ>= `  M
) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x,  .+ , y    x, M, y    x, S, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem iseqfn
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfn.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 eqid 2040 . 2  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )
3 iseqfn.ex . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 uzid 8485 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
51, 4syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 iseqfn.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
76ralrimiva 2392 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
8 fveq2 5178 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
98eleq1d 2106 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
109rspcv 2652 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 x )  e.  S  ->  ( F `  M )  e.  S
) )
115, 7, 10sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
12 iseqfn.pl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
136, 12iseqovex 9217 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
14 eqid 2040 . 2  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
1514, 6, 12iseqval 9218 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  ran frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. ) )
161, 2, 3, 11, 13, 14, 15frecuzrdgfn 9196 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  Fn  ( ZZ>= `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306   <.cop 3378    |-> cmpt 3818    Fn wfn 4897   ` cfv 4902  (class class class)co 5512    |-> cmpt2 5514  freccfrec 5977   1c1 6888    + caddc 6890   ZZcz 8243   ZZ>=cuz 8471    seqcseq 9209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-iseq 9210
This theorem is referenced by:  iseqf  9222  iseqss  9224  iseqfeq2  9227  iseqfeq  9229  iser0f  9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator