ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfveq Unicode version

Theorem iseqfveq 9598
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqfveq.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
iseqfveq.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqfveq.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqfveq.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqfveq  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, k, y, F    k, G, x, y    k, M, x, y    k, N, x, y    ph, k, x, y    .+ , k, x, y    S, k, x, y

Proof of Theorem iseqfveq
StepHypRef Expression
1 iseqfveq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzel2 8757 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 uzid 8766 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 iseqfveq.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7 iseqfveq.pl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
83, 6, 7iseq1 9585 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
9 fveq2 5229 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
10 fveq2 5229 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
119, 10eqeq12d 2097 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  M ) ) )
12 iseqfveq.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
1312ralrimiva 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
14 eluzfz1 9178 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
151, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
1611, 13, 15rspcdva 2715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 M ) )
178, 16eqtrd 2115 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
18 iseqfveq.g . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
19 fzp1ss 9218 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
203, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
2120sselda 3008 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
2221, 12syldan 276 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
235, 17, 6, 18, 7, 1, 22iseqfveq2 9596 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    C_ wss 2982   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   1c1 7096    + caddc 7098   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   ...cfz 9157    seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158  df-iseq 9574
This theorem is referenced by:  iseqfeq  9599
  Copyright terms: Public domain W3C validator