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Theorem iseqhomo 9565
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqhomo.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
iseqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
iseqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
iseqhomo.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqhomo.qcl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqhomo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  N
) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y   
y, G
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem iseqhomo
Dummy variables  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqhomo.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M ) )
32fveq2d 5213 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  M ) ) )
4 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  M )
)
53, 4eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w
)  <->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  M
) ) )
65imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  w )
)  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  M ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  M
) ) ) )
7 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( w  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )
87fveq2d 5213 . . . . 5  |-  ( w  =  n  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )
9 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  n  ->  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  n )
)
108, 9eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( w  =  n  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w
)  <->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  n
) ) )
1110imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  n  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  w )
)  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  n
) ) ) )
12 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )
1312fveq2d 5213 . . . . 5  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
14 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  ( n  +  1 ) ) )
1513, 14eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w
)  <->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1615imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  w )
)  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
17 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) )
1817fveq2d 5213 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) ) )
19 fveq2 5209 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  N )
)
2018, 19eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  w ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  w
)  <->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  N
) ) )
2120imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  w )
)  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  N
) ) ) )
22 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
2322fveq2d 5213 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
24 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
2523, 24eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
26 iseqhomo.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
2726ralrimiva 2435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
28 eluzel2 8705 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
291, 28syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
30 uzid 8714 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3129, 30syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3225, 27, 31rspcdva 2708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
33 iseqhomo.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
34 iseqhomo.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3529, 33, 34iseq1 9533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
3635fveq2d 5213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  M ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
37 iseqhomo.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
38 iseqhomo.qcl . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3929, 37, 38iseq1 9533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
4032, 36, 393eqtr4d 2124 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  M ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  M
) )
4140a1i 9 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  M
) ) )
42 oveq1 5550 . . . . . 6  |-  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
43 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4433adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
4534adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4643, 44, 45iseqp1 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4746fveq2d 5213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
48 iseqhomo.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
4948ralrimivva 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
5049adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
5143, 44, 45iseqcl 9537 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  e.  S
)
52 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5352eleq1d 2148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
5433ralrimiva 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
5554adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  x
)  e.  S )
56 peano2uz 8752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5743, 56syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5853, 55, 57rspcdva 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
59 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y )
)
6059fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y ) ) )
61 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( H `  x )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )
6261oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) ) Q ( H `  y ) ) )
6360, 62eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( H `  y
) ) ) )
64 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6564fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  y
) )  =  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
66 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6766oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( H `  y
) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6865, 67eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
6963, 68rspc2v 2714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  -> 
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
7051, 58, 69syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
7150, 70mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
7252fveq2d 5213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
73 fveq2 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
7472, 73eqeq12d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7527adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
7674, 75, 57rspcdva 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
7776oveq2d 5559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
7847, 71, 773eqtrd 2118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
7937adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
8038adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
8143, 79, 80iseqp1 9538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
8278, 81eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  (
n  +  1 ) )  <->  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1
) ) ) ) )
8342, 82syl5ibr 154 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
8483expcom 114 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8584a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  n
) )  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G ,  S ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
866, 11, 16, 21, 41, 85uzind4 8757 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  N
) ) )
871, 86mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ,  S ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700    seqcseq 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522
This theorem is referenced by:  iseqdistr  9567
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