Theorem iseqhomo 9565

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqhomo.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqhomo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqhomo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
iseqhomo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
iseqhomo.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqhomo.qcl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqhomo	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y   y, G

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem iseqhomo

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqhomo.3	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		fveq2 5209	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
3	2	fveq2d 5213	. . . . 5 |- ( w = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) )
4		fveq2 5209	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) )
5	3, 4	eqeq12d 2096	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) ) )
6	5	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) ) ) )
7		fveq2 5209	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
8	7	fveq2d 5213	. . . . 5 |- ( w = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) )
9		fveq2 5209	. . . . 5 |- ( w = n -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) )
10	8, 9	eqeq12d 2096	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) ) )
11	10	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) ) ) )
12		fveq2 5209	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
13	12	fveq2d 5213	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
14		fveq2 5209	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2096	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
17		fveq2 5209	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
18	17	fveq2d 5213	. . . . 5 |- ( w = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
19		fveq2 5209	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) )
20	18, 19	eqeq12d 2096	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) ) )
21	20	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) ) ) )
22		fveq2 5209	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
23	22	fveq2d 5213	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
24		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
25	23, 24	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
26		iseqhomo.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
27	26	ralrimiva 2435	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
28		eluzel2 8705	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
30		uzid 8714	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
32	25, 27, 31	rspcdva 2708	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
33		iseqhomo.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34		iseqhomo.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
35	29, 33, 34	iseq1 9533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
36	35	fveq2d 5213	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
37		iseqhomo.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
38		iseqhomo.qcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
39	29, 37, 38	iseq1 9533	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) = ( G ` M ) )
40	32, 36, 39	3eqtr4d 2124	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) )
41	40	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) ) )
42		oveq1 5550	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
43		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	33	adantlr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
45	34	adantlr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
46	43, 44, 45	iseqp1 9538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
47	46	fveq2d 5213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
48		iseqhomo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
49	48	ralrimivva 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
50	49	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
51	43, 44, 45	iseqcl 9537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
52		fveq2 5209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
53	52	eleq1d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
54	33	ralrimiva 2435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
55	54	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
56		peano2uz 8752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57	43, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
58	53, 55, 57	rspcdva 2708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
59		oveq1 5550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) )
60	59	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) )
61		fveq2 5209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) )
62	61	oveq1d 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
63	60, 62	eqeq12d 2096	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
64		oveq2 5551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65	64	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
66		fveq2 5209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
67	66	oveq2d 5559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
68	65, 67	eqeq12d 2096	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
69	63, 68	rspc2v 2714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
70	51, 58, 69	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
71	50, 70	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
72	52	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
73		fveq2 5209	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
74	72, 73	eqeq12d 2096	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
75	27	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
76	74, 75, 57	rspcdva 2708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
77	76	oveq2d 5559	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
78	47, 71, 77	3eqtrd 2118	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
79	37	adantlr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
80	38	adantlr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
81	43, 79, 80	iseqp1 9538	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
82	78, 81	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
83	42, 82	syl5ibr 154	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
84	83	expcom 114	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
85	84	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
86	6, 11, 16, 21, 41, 85	uzind4 8757	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) ) )
87	1, 86	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044   + caddc 7046   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   seqcseq 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522

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