Theorem iseqshft2 9548

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
iseqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
iseqshft2.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqshft2.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqshft2.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqshft2.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   k, F, x   y, F   k, G, x   y, G   k, K, x   y, K   k, M, x   y, M   k, N, x   y, N   x, S, y   ph, k, x   ph, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   S( k)   V( x, y, k)

Proof of Theorem iseqshft2

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9127	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2142	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( w e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
6		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( w + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5213	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2142	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( w e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
13		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( w = n -> ( w + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5213	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = n -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2142	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( w e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( w + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5213	. . . . . . 7 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2142	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( w e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5209	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
27		oveq1 5550	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( w + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5213	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2096	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		fveq2 5209	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
33		oveq1 5550	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
34	33	fveq2d 5213	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
35	32, 34	eqeq12d 2096	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
36		iseqshft2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
37	36	ralrimiva 2435	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
38		eluzfz1 9126	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
39	1, 38	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
40	35, 37, 39	rspcdva 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
41		eluzel2 8705	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
42	1, 41	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
43		iseqshft2.f	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
44		iseqshft2.pl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
45	42, 43, 44	iseq1 9533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
46		iseqshft2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
47	42, 46	zaddcld 8554	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
48		iseqshft2.g	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
49	47, 48, 44	iseq1 9533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
50	40, 45, 49	3eqtr4d 2124	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) )
51	50	a1i13 24	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) )
52		peano2fzr 9132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
53	52	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
54	53	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
55	54	imim1d 74	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) )
56		oveq1 5550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
57		simprl 498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
58	43	adantlr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
59	44	adantlr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
60	57, 58, 59	iseqp1 9538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	46	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
62		eluzadd 8728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
63	57, 61, 62	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
64	48	adantlr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
65	63, 64, 59	iseqp1 9538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
66		eluzelz 8709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67	57, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
68		zcn 8437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
69		zcn 8437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
70		ax-1cn 7131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
71		add32 7334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
72	70, 71	mp3an2 1257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
73	68, 69, 72	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
74	67, 61, 73	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
75	74	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
76		fveq2 5209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
77		oveq1 5550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
78	77	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
79	76, 78	eqeq12d 2096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
80	37	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
81		simprr 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
82	79, 80, 81	rspcdva 2708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
83	74	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
84	82, 83	eqtrd 2114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
85	84	oveq2d 5559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
86	65, 75, 85	3eqtr4d 2124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
87	60, 86	eqeq12d 2096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
88	56, 87	syl5ibr 154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
89	88	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
90	89	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
91	55, 90	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
92	91	expcom 114	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
93	92	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
94	10, 17, 24, 31, 51, 93	uzind4 8757	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) )
95	1, 94	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) )
96	3, 95	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   1c1 7044   + caddc 7046   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105   seqcseq 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-iseq 9522

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