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Theorem iseqsplit 9554
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
iseqsplit.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
iseqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
iseqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
iseqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem iseqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 9127 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( M  + 
1 ) ) )
6 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( M  + 
1 ) ) )
76oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 x )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 228 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )
13 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) )
1413oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 x )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) ) ) )
1716imbi2d 228 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) ) ) ) )
18 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )
20 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )
2120oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 x )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 228 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) )
27 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) )
2827oveq2d 5559 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) ) )
2926, 28eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 x )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  N )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) ) ) )
3025, 29imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 x ) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  N )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) ) ) ) )
3130imbi2d 228 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  x )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) ) ) ) ) )
32 iseqsplit.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 iseqsplit.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
34 iseqsplit.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3532, 33, 34iseqp1 9538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
36 eluzel2 8705 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
371, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
38 eluzelz 8709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
3932, 38syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
40 peano2uzr 8754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4139, 40sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4232adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
43 uztrn 8716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4441, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4544, 33syldan 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
4637, 45, 34iseq1 9533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
4746oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
4835, 47eqtr4d 2117 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( M  + 
1 ) ) ) )
4948a1i13 24 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
50 peano2fzr 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
5150adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
5251expr 367 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5352imim1d 74 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) ) ) )
54 oveq1 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  -> 
( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 simprl 498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
56 peano2uz 8752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5732, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5857adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
59 uztrn 8716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6055, 58, 59syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6133adantlr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6234adantlr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6360, 61, 62iseqp1 9538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6445adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6555, 64, 62iseqp1 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6665oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  .+  (
(  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
67 simpl 107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
6832, 33, 34iseqcl 9537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  e.  S )
6968adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  e.  S
)
7055, 64, 62iseqcl 9537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  e.  S
)
71 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7271eleq1d 2148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
73 elfzuz 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
7473, 33sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7574ralrimiva 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7675adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
77 fzss1 9157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7832, 56, 773syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
79 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
80 ssel2 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8178, 79, 80syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8272, 76, 81rspcdva 2708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
83 iseqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
8483caovassg 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  M )  e.  S  /\  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8567, 69, 70, 82, 84syl13anc 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8666, 85eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
8763, 86eqeq12d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8854, 87syl5ibr 154 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8988expr 367 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9089a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9153, 90syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9291expcom 114 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
9392a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
9410, 17, 24, 31, 49, 93uzind4 8757 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) ) ) ) )
951, 94mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) ) ) )
963, 95mpd 13 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349    C_ wss 2974   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105    seqcseq 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-iseq 9522
This theorem is referenced by:  iseq1p  9555  ibcval5  9787  clim2iser  10313  clim2iser2  10314
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